2. Übungsblatt

ZAHLENTHEORIE (SS 2007) Abgabe: Mi. 25.4.2007, bis 9.10 Uhr Fach Nr. 11 (orangener Schrank bei D1.348)

Internet: http://math-www.uni-paderborn.de/˜ chris

Schreiben Sie bitte auf die erste Seite gut leserlich Namen, Vornamen und Matrikel–Nr. Heften Sie bitte die Seiten zusammen!

Die folgenden Aufgaben sind auf Grundlage der Vorlesung und der Übungen zu bearbeiten!

5. Aufgabe: Seien a, m, n ∈ ℕ und a > 1 . Beweise: (a^{m} − 1) | (a^{n} − 1) ⟹ m | n. Hinweis: Im Falle n = mq + r gilt a^{n} − 1 = (a^{mq} − 1) a^{r} + a^{r} − 1 (Wieso?) (2)

6. Aufgabe: Für n ∈ ℕ ist die n–te Mersenne’sche Zahl M_{n} definiert durch M_{n} := 2^{n} − 1 . Beweise:

a) Sind m, n ∈ ℕ, so gilt: M_{m} | M_{n} ⟺ m | n.

b) M_{n} ∈ IP ⟹ n ∈ IP .

c) Untersuche, ob in b) auch die Umkehrung gilt.

d) Finde einen Zusammenhang zwischen dem ggT zweier Mersenne’scher Zahlen M_{m} und M_{n} und dem ggT von m und n und beweise ihn. (6)

7. Aufgabe: Seien m, n ∈ ℕ. Beweise:

a) Durch die Zuordnungsvorschrift (s, t) ⟼ s · t wird eine Abbildung f : T^{+}(m) × T^{+}(n) ⟶ T^{+}(m · n) definiert.

b) f ist surjektiv.

c) Finde eine notwendige und hinreichende Bedingung für m und n, so daß die Abbildung f injektiv ist, und beweise die Richtigkeit Deiner Behauptung.

d) Für teilerfremde Zahlen m, n ∈ ℕ gilt τ(m · n) = τ(m) · τ(n) . (5)

8. Aufgabe: Seien a, b, c ∈ ℤ. Beweise: ggT(c · a, c · b) = | c | · ggT(a, b) . (3)