13. Übungsblatt

ZAHLENTHEORIE (SS 2007)

Internet: http://math-www.uni-paderborn.de/˜ chris

Schreiben Sie bitte auf die erste Seite gut leserlich Namen, Vornamen, Matrikel–Nr. und Ihre Übungsgruppe. Heften Sie bitte die Seiten zusammen!

Mündliche Berabeitung zum 11. bzw. 12.7.2007

52. Aufgabe: Welche Endziffer kann eine gerade vollkommene Zahl haben?

53. Aufgabe: Sei p eine Primzahl mit p ≡ 3 (mod 4) . Beweise: 2p + 1 ist genau dann prim, wenn 2p + 1 die Mersenne’sche Zahl M_{p} teilt.

54. Aufgabe: a) Sei n eine Carmichael–Zahl. Beweise: n ist ungerade, quadratfrei und besitzt mindestens 3 Primteiler. Außerdem gilt für jeden Primteiler p von n, daß p − 1 ein Teiler von n − 1 ist.

b) Beweise: Eine ungerade quadratfreie Zahl n ist genau dann eine Carmichael–Zahl, wenn gilt: ∀ p ∈ T_{IP}(n) : p − 1 | n − 1 .

c) Beweise: Ist p > 3 eine Primzahl, so daß auch 2p − 1 und 3p − 2 Primzahlen sind, so ist n = p(2p − 1)(3p − 2) eine Carmichael–Zahl. Finde hiermit Carmichael–Zahlen!

Wenn Sie mit dem Korrektor Andreas Kottmann sprechen wollen, schicken Sie ihm bitte eine email an die Adresse kottmann@zitmail.uni-paderborn.de