12. Übungsblatt

ZAHLENTHEORIE (SS 2007)

Abgabe: Mi. 4.7.2007, bis 9.10 Uhr

Fach Nr. 11 (orangener Schrank bei D1.348)

Internet: http://math-www.uni-paderborn.de/˜ chris

Schreiben Sie bitte auf die erste Seite gut leserlich Namen, Vornamen, Matrikel–Nr. und Ihre Übungsgruppe. Heften Sie bitte die Seiten zusammen!

Die folgenden Aufgaben sind auf Grundlage der Vorlesung und der Übungen zu bearbeiten!

47. Aufgabe: Beweise:

a) Sind p_{1}, p_{2}, …, p_{r} Primzahlen mit p_{i} ≡ 1 (mod 8) für alle i = 1, 2, …, r, so besitzt die Zahl a := (p_{1} · p_{2} · . . . · p_{r})^{4} + 16 einen Primteiler p mit p ≡ 1 (mod 8) und p ≠ p_{i} für alle i = 1, 2, …, r.

b) Es gibt unendlich viele Primzahlen p mit p ≡ 1 (mod 8) .

c) Es gibt unendlich viele Primzahlen p mit p ≡ 5 (mod 8) . (4)

48. Aufgabe: a) Sei p > 3 eine Primzahl, und sei m := \frac{1}{2}(p − 1) . Beweise:

(\frac{3}{p}) = ∏_{k=1}^{m} (1 + 2 cos (\frac{4πk}{p} )) .

b) Berechne (\frac{3}{11}) und (\frac{3}{19}) mit Hilfe von a) . (3)

49. Aufgabe: Sei n ∈ ℕ , n ≥ 2 . Beweise, daß n genau dann eine Primzahl ist, wenn es eine

Zahl a ∈ ℤ gibt mit a^{n−1} ≡ 1 (mod n) und a^{\frac{n−1}{p}} ≢ 1 für alle p ∈ T_{IP}(n − 1) . (1)

50. Aufgabe: Sei n ∈ ℕ beliebig. Beweise für die Fermat’sche Zahl F_{n}:

a) F_{n} ≡ 5 (mod 12)  b) F_{n} prim ⟺ 32^{2^{n} − 1} ≡ −1 (mod F_{n}) .  (3)

51. Aufgabe: Sei n > 6 eine gerade vollkommene Zahl.

a) Iteriere die Quersummenbildung von n so oft, bis eine einziffrige Zahl e(n) übrigbleibt. Bestimme e(n) in 5 konkreten Beispielen und stelle eine Vermutung auf.

b) Beweise die in a) gefundene Vermutung. (3)

Wenn Sie mit dem Korrektor Andreas Kottmann sprechen wollen, schicken Sie ihm bitte eine email an die Adresse kottmann@zitmail.uni-paderborn.de