1. Übungsblatt

ZAHLENTHEORIE (SS 2007) Abgabe: Mi. 18.4.2007, bis 9.10 Uhr Fach Nr. 11 (orangener Schrank bei D1.348)

Internet: http://math-www.uni-paderborn.de/˜ chris

Schreiben Sie bitte auf die erste Seite gut leserlich Namen, Vornamen und Matrikel–Nr. Heften Sie bitte die Seiten zusammen!

Die folgenden Aufgaben sind auf Grundlage der Vorlesung zu bearbeiten!

1. Aufgabe: Beweise den Satz (2.4) über die Division mit Rest durch vollständige Induktion. (4)

2. Aufgabe: Seien a, b ∈ ℤ und n ∈ ℕ. Beweise:

a) ((a mod n) + (b mod n)) mod n = (a + b) mod n

b) ((a mod n) · (b mod n)) mod n = (a · b) mod n

c) (a mod n)^{k} mod n = a^{k} mod n für alle k ∈ ℕ_{0} . (3)

3. Aufgabe: Seien a, b, c ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} beliebig mit a ≠ 0 . Beweise, daß 13 ein Teiler der Zahl n mit der Dezimaldarstellung n = abcabc ist. (3)

4. Aufgabe: Seien a, n ∈ ℕ. Beweise:

a) (a − 1) | (a^{n} − 1)

b) k | n ⟹ (a^{k} − 1) | (a^{n} − 1)

c) 7 | (13^{m} − 1) für jede \underline{gerade} natürliche Zahl m ≥ 2 . (4)