MaC: Vorlesung 6.11.2006

Beweis von Satz (1.4) mit Hilfe von Maple

Sei E die Ellipse um (0,0) mit den Halbachsen

a>=b>0. F1=(-c,0) und F2=(c,0) mit c=sqrt(a^2-b^2)

seien die Brennpunkte von E. Dann ist die Summe

der Abst\303\244nde eines beliebigen Punktes P der Ellipse

zu den beiden Brennpunkten gleich 2a.

Beweis:

c:='c':

with(geometry):

point(F1,[-c,0]):

coordinates(F1):

point(F2,[c,0]):

point(P,[x,y]):

d1:=distance(F1,P);

d2:=distance(F2,P);

d=d1+d2;

Veranschaulichung der Behauptung d1+d2=2a

f\303\274r den Fall a=3 und b=2

ellipse(E,x^2/3^2+y^2/2^2=1,[x,y]):

draw(E,axes=normal,thickness=3);

subs(x=2,Equation(E));

solve(%,y);

point(P1,[2,2/3*sqrt(5)]):

segment(s1,[F1,P1]):

segment(s2,[F2,P1]):

c:=sqrt(5);

segment(s3,[point(X1,[-3,0]),point(X2,[3,0])]):

draw([E,s1,s2,s3],axes=normal,color=[red,green,green,blue],thickness=[2,3,3,3]);

distance(F1,P1)+distance(F2,P1);

simplify(%);

radsimp(%%);

point(A,[0,2]):

draw([E,segment(t1,[A,F1]),segment(t2,[A,F2])],axes=normal,color=[red,green,green],thickness=[2,3,3]);

distance(A,F1)+distance(A,F2);

radsimp(%);

point(B,[-3,0]),point(C,[3,0]):

draw([E,segment(r1,[B,F1]),segment(r2,[F1,C])],axes=normal,color=[red,blue,green],thickness=[2,3,3]);

distance(C,F1)+distance(C,F2);

radsimp(%);

Nun der Beweis:

c:=sqrt(a^2-b^2);

d=d1+d2;

d^2=rhs(%)^2;

expand(%);

f:=2*a^2-2*b^2+2*x^2+2*y^2;

d^2-f=rhs(%%)-f;

lhs(%)^2=rhs(%)^2;;

expand(%);

lhs(%)-rhs(%);

collect(%,d);

subs(d=sqrt(t),y^2=b^2*(1-x^2/a^2),%);

solve(%,t);

Die zweite L\303\266sung macht keinen Sinn, da d=0 f\303\274r x=0 folgt.

sqrt(%[1]);

radsimp(%);

Also d=2a wie behauptet.

Beweis von Satz (1.5) mit Maple

Die von einer Ellipse mit den Halbachsen

a und b eingeschlossene Fl\303\244che hat den

Inhalt p.a.b

p1:=plot([3*cos(t),2*sin(t),t=0..2*Pi],scaling=constrained,thickness=3,color=black):

p2:=plot([3*cos(t),2*sin(t),t=0..1/2*Pi],scaling=constrained,filled=true):

with(plots):

display(p1);

display(p2);

display([p1,p2]);

f:=2/3*sqrt(9-x^2);

Int(f,x=0..3);

value(%);

%*4;

Int(f,x=0..3)=value(Int(f,x=0..3));

g:=b/a*sqrt(a^2-x^2);

Int(g,x=0..a);

value(%);

radsimp(%);

%*4;

int(sqrt(a^2-x^2),x);

diff(%,x);

radsimp(%);

simplify(%%);

diff(1/2*(x*sqrt(a^2-x^2)+a^2*arcsin(x/a)),x);

radsimp(%);

simplify(%%);

Die Bogenl\303\244nge einer Ellipse

Zun\303\244chst ein konkretes Beispiel (a=3,b=2)

p3:=plot([3*cos(t),2*sin(t),t=0..Pi/2],thickness=3,color=red,scaling=constrained):

display(p3);

p4:=plot([3*cos(t),2*sin(t),t=Pi/2..2*Pi],thickness=3,color=black):

display([p4,p3]);

f1:=diff(f,x);

Int(sqrt(1+f1^2),x=0..3);

value(%);

evalf(%);

%*4;

evalf(2*Pi*2);

evalf(2*Pi*3);

p5:=plot([2*cos(t),2*sin(t),t=0..2*Pi],scaling=constrained,color=red,thickness=2):

p6:=plot([3*cos(t),3*sin(t),t=0..2*Pi],scaling=constrained,color=blue,thickness=2):

display([p1,p5,p6]);

Nun der allgemeine Fall:

a:='a';b:='b';

g1:=diff(g,x);

Int(sqrt(1+g1^2),x=0..a);

value(%);

normal(%);

value(%);

assume(a>=b,b>0);

value(%);

int(sqrt(1+g1^2),x=0..a);

Das Ergebnis f\303\274hrt auf ein elliptisches Integral

?EllipticE

In Parameterform

Int(sqrt(a^2*sin(t)^2+b^2*cos(t)^2),t=0..Pi/2);

value(%);

In Polarkoordinatenform

r:=a*b/sqrt(b^2*cos(t)^2+a^2*sin(t)^2);

r1:=diff(r,t);

Int(sqrt(r^2+r1^2),t=0..Pi/2);

value(%);

Das Programmpaket "geometry"

Dieses Programmpaket enth\303\244lt tools zur anschaulichen Darstellung geometrischer Sachverhalte,

die gleichzeitig die relevanten Gr\303\266\303\237en rechnerisch erfassen. Dieses Paket mu\303\237 zun\303\244chst geladen werden:

with(geometry);

Mit der Hilfefunktion erh\303\244lt man die n\303\266tigen Informationen zu den einzelnen Prozeduren:

?geometry,ellipse

E:=5/16*x^2+1/2*y^2-1/4*x*y-x-1/2*y=1;

ellipse(e,E,[x,y]);

draw(e,axes=normal);

detail(e);

?geometry,line

?geometry,point

point(F1,[0,0]);

point(F2,[4,2]);

detail(F1);

line(l,[F1,F2]);

detail(l);

draw([e,l],axes=normal);

?geometry,PerpendicularLine

point(M,[2,1]);

PerpendicularLine(s,M,l);

Equation(l);

Equation(s);

1/2*(-2);

draw([e,l,s],axes=normal,thickness=[2,1,1],color=[red,blue,blue]);

arctan(1/2);

evalf(%);

convert(%,'degrees');

evalf(%);

Nach einer geeigneten Drehung der Ellipse verlaufen deren Achsen parrallel zu den

Koordinatenachsen, und eine geeignete Translation verschiebt den Mittelpunkt in

den Nullpunkt, wodurch eine besonders einfache Darstellung der Ellipsengleichung

erzielt wird.