Chr. Nelius , Mathematik am Computer , WS 2006/07 5

\underline{\underline{(2.19) DEF:}} Seien a, b ∈ ZZ. Eine Zahl k ∈ ZZ heißt kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) von a und b, wenn folgendes gilt:

i) k ≥ 0

ii) a | k und b | k
iii) ∀ v ∈ ZZ : a | v und b | v ⟹ k | v

Bezeichnung: k = kgV(a, b) .

\underline{\underline{(2.20) BEM:}} a) Zu je zwei ganzen Zahlen existiert höchstens ein kgV .

b) Ist k = kgV(a, b) und v ≠ 0 ein gemeinsames Vielfaches, so folgt aus k | v, daß k = |k| ≤ |v| gilt, d.h. k ist das betragsmäßig kleinste gemeinsame Vielfache ≠ 0 .

\underline{\underline{(2.21) LEMMA:}} Für beliebige ganze Zahlen a und b gilt:

a) kgV(a, b) = kgV(b, a)

b) kgV(a, b) = kgV(|a|, |b|)

c) kgV(a, b) = |b| ⟺ a | b

d) kgV(a, 0) = |0|

e) kgV(a, b) = 0 ⟺ (a = 0 ∨ b = 0)

\underline{\underline{(2.22) SATZ:}} Zu je zwei ganzen Zahlen a und b existiert genau ein kgV, und es gilt ggT(a, b) · kgV(a, b) = | a · b |

\underline{\underline{(2.23) BEM:}} (2.22) liefert zugleich ein Berechnungsverfahren für das kgV: Im Falle ggT(a, b) ≠ 0 berechne den ggT mit Hilfe des EA. Dann ist

kgV(a, b) = \frac{| a · b |}{ggT(a, b)}

\underline{\underline{(2.24) DEF:}} a_{1}, a_{2}, …, a_{n} (n ≥ 2) seien ganze Zahlen. Eine ganze Zahl k heißt kgV von a_{1}, a_{2}, …, a_{n} (in Zeichen: k = kgV(a_{1}, a_{2}, …, a_{n})) , wenn gilt:

i) k ≥ 0 ii) a_{i}|k für alle i = 1, 2, …, n iii) Für ein beliebiges v ∈ ZZ mit a_{i}|v für alle i = 1, 2, …, n folgt k|v.