L\303\266sung 12. \303\234bung MaC (WS 2006/07) mit Maple 9.5

Aufgabe23

Teil a) Einf\303\274gen einer neuen Spalte in eine Matrix

Prozedur: 2,5P , Test 0,5P

with(linalg):

spalte:=proc(A,a::list,r::posint) local i,k,m,n,B; m:=rowdim(A); n:=coldim(A); if r>n+1 then error "Spaltenindex zu gro\303\237" elif m<>nops(a) then error "Spalte pa\303\237t nicht" else B:=matrix(m,n+1); for i to m do for k to n+1 do if k<=r-1 then B[i,k]:=A[i,k] elif k=r then B[i,k]:=a[i] elif k>=r+1 then B[i,k]:=A[i,k-1] end if end do end do; op(B) end if end proc:

Test:

A1:=matrix(1,1,0);

spalte(A1,[a],2);

A:=matrix(3,3,0);

for i to 4 do spalte(A,[7,7,7],i) end do;

spalte(A,[1,1,1],5);

spalte(A,[1,1,1,1],3);

Teil b) Einf\303\274gen einer neuen Zeile in eine Matrix

Prozedur 1,5P , Test 0,5 P

zeile:=proc(A,a::list,r::posint) if r>rowdim(A)+1 then error "Zeilenindex zu gro\303\237" elif nops(a)<>coldim(A) then error "Zeile pa\303\237t nicht" else transpose(spalte(transpose(A),a,r)) end if end proc:

Test:

for i to 4 do zeile(A,[7,7,7],i) end do;

zeile(A,[7,7,7],5);

zeile(A,[7,7,7,7],4);

Teil c) Ein Lineares Gleichungssystem

3 Punkte

Hier k\303\266nnen beliebige Prozeduren aus dem Paket "linalg" benutzt werden,

f\303\274r die allerdings vorher die Hilfefunktion aufgerufen worden sein mu\303\237.

A:=Matrix([[1,2,0,1,0],[0,0,1,1,0],[3,6,1,4,0],[2,4,2,4,-1]]);

b:=[1,-1,2,-2];

B:=spalte(A,b,6);

?gaussjord

gaussjord(M) bestimmt die Zeilenstufenform einer Matrix M

T:=gaussjord(B);

T1:=zeile(T,[0$6],2);

T2:=zeile(T1,[0$6],4);

?delrows

Mit delrows(M,m..n) kann man die Zeilen der Matrix M mit den Nummern von m bis n entfernen

S:=delrows(T2,6..6);

S[2,2]:=-1; S[4,4]:=-1;

U:=S;

op(U);

?col

Mit col(M,k) kann man die k-te Spalte der Matrix M herausgreifen

c:=matrix(5,1,col(U,6));

multiply(A,c);

Die rechte Spalte von U ist also eine (spezielle) L\303\266sung des inhomogenen LGS's Ax=b

u1:=matrix(5,1,col(U,2));

multiply(A,u1);

u2:=matrix(5,1,col(U,4));

multiply(A,u2);

u1 und u2 sind L\303\266sungen des zugeh\303\266rigen homogenen LGS's Ax=0.

u1 und u2 sind linear unabh\303\244ngig (sieht man!).

5-rank(A);

Damit hat der L\303\266sungsraum L0 des hom LGS's die Dimension 2, so da\303\237

{u1,u2} eine Basis von L0 ist.

Die allgemeine L\303\266sung von Ax=b hat also die Form

c + r1.u1 + r2.u2 ,

wobei r1 und r2 alle reellen Zahlen durchlaufen.

Die Maple-Prozedur "linsolve" aus dem Paket "linalg" l\303\266st Lineare Gleichungssysteme.

NiQtSSVtcm93RzYjL0krbW9kdWxlbmFtZUc2IkksVHlwZXNldHRpbmdHSShfc3lzbGliR0YoNiQtSSNtb0dGJTYzUSI/RigvJSVmb3JtR1EmaW5maXhGKC8lJmZlbmNlR1EmZmFsc2VGKC8lKnNlcGFyYXRvckdGNS8lJ2xzcGFjZUdRMnZlcnl0aGlubWF0aHNwYWNlRigvJSdyc3BhY2VHRjovJSlzdHJldGNoeUdGNS8lKnN5bW1ldHJpY0dGNS8lKG1heHNpemVHUSlpbmZpbml0eUYoLyUobWluc2l6ZUdRIjFGKC8lKGxhcmdlb3BHRjUvJS5tb3ZhYmxlbGltaXRzR0Y1LyUnYWNjZW50R0Y1LyUwZm9udF9zdHlsZV9uYW1lR1EpMkR+SW5wdXRGKC8lJXNpemVHUSMxMkYoLyUrZm9yZWdyb3VuZEdRKFswLDAsMF1GKC8lK2JhY2tncm91bmRHUS5bMjU1LDI1NSwyNTVdRigtSSNtaUdGJTY5USlsaW5zb2x2ZUYoLyUnZmFtaWx5R1EwVGltZXN+TmV3flJvbWFuRigvJSVzaXplR0ZSLyUlYm9sZEdGNS8lJ2l0YWxpY0dRJXRydWVGKC8lKnVuZGVybGluZUdGNS8lKnN1YnNjcmlwdEdGNS8lLHN1cGVyc2NyaXB0R0Y1LyUrZm9yZWdyb3VuZEdGVS8lK2JhY2tncm91bmRHRlgvJSdvcGFxdWVHRjUvJStleGVjdXRhYmxlR0Zgby8lKXJlYWRvbmx5R0Y1LyUpY29tcG9zZWRHRjUvJSpjb252ZXJ0ZWRHRjUvJStpbXNlbGVjdGVkR0Y1LyUscGxhY2Vob2xkZXJHRjUvJTBmb250X3N0eWxlX25hbWVHRk8vJSptYXRoY29sb3JHRlUvJS9tYXRoYmFja2dyb3VuZEdGWC8lK2ZvbnRmYW1pbHlHRmluLyUsbWF0aHZhcmlhbnRHUSdpdGFsaWNGKC8lKW1hdGhzaXplR0ZSNyMtSSVoZWxwRzYkJSpwcm90ZWN0ZWRHRio2I0Zmbg==

Aufruf: linsolve(A,b)

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

Das Ergebnis ist ein Vektor aus 5 Komponenten, bei dem t1 und t2 frei w\303\244hlbare (reelle) Parameter sind. Dieser

Vektor l\303\244\303\237t sich darstellen in der Form

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

in \303\234bereinstimmung mit der oben gefundenen L\303\266sung.

Programmpakete in Maple 10

Eine \303\234bersicht erh\303\244lt man mit

NiQtSSVtcm93RzYjL0krbW9kdWxlbmFtZUc2IkksVHlwZXNldHRpbmdHSShfc3lzbGliR0YoNiYtSSNtb0dGJTYzUSI/RigvJSVmb3JtR1EmaW5maXhGKC8lJmZlbmNlR1EmZmFsc2VGKC8lKnNlcGFyYXRvckdGNS8lJ2xzcGFjZUdRMnZlcnl0aGlubWF0aHNwYWNlRigvJSdyc3BhY2VHRjovJSlzdHJldGNoeUdGNS8lKnN5bW1ldHJpY0dGNS8lKG1heHNpemVHUSlpbmZpbml0eUYoLyUobWluc2l6ZUdRIjFGKC8lKGxhcmdlb3BHRjUvJS5tb3ZhYmxlbGltaXRzR0Y1LyUnYWNjZW50R0Y1LyUwZm9udF9zdHlsZV9uYW1lR1EpMkR+SW5wdXRGKC8lJXNpemVHUSMxMkYoLyUrZm9yZWdyb3VuZEdRKFswLDAsMF1GKC8lK2JhY2tncm91bmRHUS5bMjU1LDI1NSwyNTVdRigtSSNtaUdGJTY5USZpbmRleEYoLyUnZmFtaWx5R1EwVGltZXN+TmV3flJvbWFuRigvJSVzaXplR0ZSLyUlYm9sZEdGNS8lJ2l0YWxpY0dRJXRydWVGKC8lKnVuZGVybGluZUdGNS8lKnN1YnNjcmlwdEdGNS8lLHN1cGVyc2NyaXB0R0Y1LyUrZm9yZWdyb3VuZEdGVS8lK2JhY2tncm91bmRHRlgvJSdvcGFxdWVHRjUvJStleGVjdXRhYmxlR0Zgby8lKXJlYWRvbmx5R0Y1LyUpY29tcG9zZWRHRjUvJSpjb252ZXJ0ZWRHRjUvJStpbXNlbGVjdGVkR0Y1LyUscGxhY2Vob2xkZXJHRjUvJTBmb250X3N0eWxlX25hbWVHRk8vJSptYXRoY29sb3JHRlUvJS9tYXRoYmFja2dyb3VuZEdGWC8lK2ZvbnRmYW1pbHlHRmluLyUsbWF0aHZhcmlhbnRHUSdpdGFsaWNGKC8lKW1hdGhzaXplR0ZSLUYtNjNRIixGKEYwRjMvRjdGYG8vRjlRJDBlbUYoL0Y8UTN2ZXJ5dGhpY2ttYXRoc3BhY2VGKEY9Rj9GQUZERkdGSUZLRk1GUEZTRlYtRlo2OVEpcGFja2FnZXNGKEZnbkZqbkZcb0Zeb0Zhb0Zjb0Zlb0Znb0Zpb0ZbcEZdcEZfcEZhcEZjcEZlcEZncEZpcEZbcUZdcUZfcUZhcUZkcTcjLUklaGVscEc2JCUqcHJvdGVjdGVkR0YqNiNRL2luZGV4LHBhY2thZ2VzRig=

Informationen zu einem Paket erh\303\244lt man z.B. mit

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

Geladen wird ein Paket insgesamt durch

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

Eine einzelne Prozedur kann mit dem Befehl

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

geladen werden. Es ist auch m\303\266glich, eine Prozedur aus einem Paket mit dem vollen Namen aufzureufen,

ohne die Prozedur vorher geladen zu haben. Dies emphiehlt sich z.B. innerhalb von Prozeduren:

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