§9 Der Zerfällungskörper eines Polynoms

\underline{(9.1) DEF:} L : K sei eine Körpererweiterung und f ∈ K[T] sei ein Polynom vom Grade ≥ 1 . L heißt Zerfällungskörper (ZFK) von f über K, wenn gilt:

a) f zerfällt über L in Linearfaktoren.

b) Ist E ein beliebiger Zwischenkörper von L : K, über dem f in Linearfaktoren zerfällt, so folgt E = L.

\underline{(9.2) SATZ:} K sei ein Körper und f ∈ K[T] ein Polynom vom Grade ≥ 1 . Dann gilt:

a) f besitzt einen Zerfällungskörper Z über K.

b) Z : K ist eine endliche Körpererweiterung.

Nachdem nun die Existenz eines Zerfällungskörpers gesichert ist, wenden uns der Frage nach seiner Eindeutigkeit zu. Dazu sind einige Vorbereitungen erforderlich. In Aufgabe 20 hatten wir gesehen, daß jeder Körperisomorphismus σ : K ⟶ K′ einen Ringisomorphismus \overline{σ} : K[T] ⟶ K′[T] mit \overline{σ}(a) = σ(a) (∀ a ∈ K) und \overline{σ}(T) = T definiert.

\underline{(9.3) LEMMA:} L : K und L′ : K′ seien Körpererweiterungen, σ : K ⟶ K′ sei ein Körperisomorphismus , f ∈ K[T] sei ein irreduzibles Polynom, α ∈ L sei eine Nullstelle von f und β ∈ L′ sei eine Nullstellle von \overline{σ}(f) ∈ K′[T]. Dann existiert genau ein Körperisomorphismus

ρ : K(α) ⟶^{≅} K′(β)

mit ρ(a) = σ(a) (∀ a ∈ K) und ρ(α) = β.

\underline{(9.4) DEF:} L : K sei ein Körpererweiterung und f ∈ K[T]. Dann bezeichne

Null_{L}(f)

die Menge aller Nullstellen von f, die in L gelegen sind.

\underline{(9.5) SATZ:} K und K′ seien Körper , σ : K ⟶ K′ sei ein Körperisomorphismus und f ∈ K[T] sei ein Polynom vom Grade ≥ 1 . Ist dann Z ein Zerfällungskörper von f über K und ist Z′ ein Zerfällungskörper von \overline{σ}(f) über K′, so gibt es einen Körperisomorphismus

ρ : Z ⟶^{≅} Z′

mit i) ρ(a) = σ(a) (∀ a ∈ K) und ii) ρ(Null_{Z}(f)) = Null_{Z′}(\overline{σ}(f)) .

\underline{(9.6) KOROLLAR:} Sind Z : K und Z′ : K zwei Zerfällungskörper eines Polynoms f ∈ K[T] vom Grade ≥ 1 , so gibt es einen Körperisomorphismus

ρ : Z ⟶^{≅} Z′

mit ρ(a) = a (∀ a ∈ K) und ρ(Null_{Z}(f)) = Null_{Z′}(f) .

\underline{Fazit:} Zu jedem Polynom f ∈ K[T] vom Grade ≥ 1 gibt es einen Zerfällungskörper Z (9.2) , der bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt ist (9.6). Wir sprechen daher von dem Zerfällungskörper von f und benutzen die Bezeichnung

Z = ZFK_{K}(f) .

Es gilt ZFK_{K}(f) = K(Null_{Z}(f)) .

Wir wollen die gefundenen Ergebnisse auf endliche Körper anwenden.

\underline{(9.7) SATZ:} Sind K und L endliche Körper, so gilt:

|K| = |L| ⟹ K ≅ L .

\underline{Bew:} Es wird gezeigt, daß K Zerfällungskörper des Polynoms T^{|K|} − T ∈ P (K)[T] ist.

Um die Existenz endlicher Körper nachzuweisen, benötigen wir den Begriff der formalen Ableitung.

\underline{(9.8) DEF:} Sei K ein Körper. Die Abbildung D : K[T] ⟶ K[T] , definiert durch

D (∑_{ν=0}^{n} a_{ν}T^{ν}) := ∑_{ν=1}^{n} νa_{ν}T^{ν−1}

heißt formale Ableitung in K[T] . Man benutzt auch die Bezeichnung D(f) =: f′ für f ∈ K[T] .

\underline{(9.9) LEMMA:} K sei ein Körper. Dann hat die formale Ableitung D : K[T] ⟶ K[T] die folgenden Eigenschaften:

a) D ist K–linear .

b) Für alle f, g ∈ K[T] gilt D(fg) = fD(g) + D(f)g.

c) grad(f) = n ≥ 1 ⟹ grad(D(f)) ≤ n − 1 (falls D(f) ≠ 0) .

d) f ∈ K ⟹ D(f) = 0 .

\underline{(9.10) LEMMA:} α ∈ L sei eine Nullstelle eines Polynoms f ∈ K[T] in einem Erweiterungskörper L von K. Genau dann ist α eine einfache Nullstelle von f , wenn f′(α) ≠ 0 gilt.

\underline{(9.11) SATZ:} Seien p ∈ IP und n ∈ ℕ. Dann existiert ein Körper K mit

|K| = p^{n} .

\underline{Bew:} K wird als Zerfällungskörper des Polynoms T^{p^{n}} − T ∈ ℤ_{p}[T] konstruiert.

\underline{Fazit:} Zu jeder Primzahl p und zu jeder natürlichen Zahl n gibt es einen endlichen Körper K mit p^{n} Elementen, und K ist bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Nach (3.8) sind dies alle endlichen Körper.