§7 Algebraische Körpererweiterungen

\underline{(7.1) DEF:} L : K sei eine Körpererweiterung. Ein Element α ∈ L heißt algebraisch über K, wenn es ein von Null verschiedenes Polynom f ∈ K[T] gibt mit f(α) = 0 . Ist α ∈ L nicht algebraisch über K, so heißt α transzendent über K.

\underline{(7.2) BEISPIELE:} a) Jedes Element α aus dem Grundkörper K ist algebraisch über K; denn für f = T − α ∈ K[T] gilt f ≠ 0 und f(α) = 0 .

b) Die reellen Zahlen ^{3} \sqrt{2}, ^{8} \sqrt{11} sind algebraisch über ℚ (T^{3} − 2, T^{8} − 11 ∈ ℚ[T]) .

c) Die imaginäre Einheit i ∈ ℂ ist algebraisch über ℚ oder IR (T^{2} + 1 ∈ ℚ[T]) .

d) π ∈ IR ist transzendent über ℚ (Lindemann, 1882)

e) e ∈ IR ist transzendent über ℚ (Hermite, 1873)

\underline{BEM:} Es ist vergleichsweise schwieriger, transzendente Zahlen zu finden, obwohl Cantor im Jahre 1874 bewiesen hat, daß die Menge der über ℚ algebraischen Zahlen abzählbar, die Menge der transzendenten Zahlen jedoch überabzählbar ist.

\underline{(7.3) SATZ:} L : K sei eine Körpererweiterung und α ∈ L. Ist dann die Körpererweiterung K(α) : K \underline{endlich} , so ist α algebraisch über K.

\underline{(7.4) SATZ:} L : K sei eine Körpererweiterung. Das Element α ∈ L sei algebraisch über K. Dann gilt:

a) Es gibt genau ein normiertes Polynom m_{α} ∈ K[T] kleinsten Grades mit α als Nullstelle.

b) Ist g ∈ K[T] \ {0} ein beliebiges Polynom mit g(α) = 0 , so ist m_{α} ein Teiler von g.

c) m_{α} ist irreduzibel über K.

\underline{(7.5) DEF:} Sei L : K eine Körpererweiterung. α ∈ L sei algebraisch über K. Dann heißt das normierte Polynom m_{α} ∈ K[T] kleinsten Grades mit α als Nullstelle das Minimalpolynom (abgekürzt MP) von α über K.

Beispiele: T^{2} − 2 ∈ ℚ[T] ist Minimalpolynom von \sqrt{2} über ℚ.

T^{3} − 7 ∈ ℚ[T] ist Minimalpolynom von ^{3} \sqrt{7} über ℚ.

\underline{(7.6) KOROLLAR:} L : K sei eine Körpererweiterung und α ∈ L sei algebraisch über K. Dann sind für ein Polynom f ∈ K[T] folgende Aussagen äquivalent:

a) f ist das Minimalpolynom von α über K.

b) f ist ein normiertes, über K irreduzibles Polynom mit α als Nullstelle.

\underline{(7.7) SATZ:} Seien L : K eine Körpererweiterung und α ∈ L ein Element. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

a) K[α] = K(α)

b) α ist algebraisch über K.

c) K[α] ist ein Unterkörper von L.

Beispiele: ℚ[ ^{3} \sqrt{2}] = ℚ( ^{3} \sqrt{2}) , ℚ[ ^{n} \sqrt{p}] = ℚ( ^{n} \sqrt{p}) (n ∈ IN, p ∈ IP) , IR(i) = IR[i] = C ℚ[π] ⊂ ℚ(π) (echte Inklusion)

\underline{(7.8) KOROLLAR:} L : K sei eine Körpererweiterung, und die Elemente α_{1}, …, α_{n} ∈ L sei algebraisch über K. Dann gilt

K[α_{1}, …, α_{n}] = K(α_{1}, …, α_{n})

\underline{(7.9) SATZ:} L : K sei eine Körpererweiterung, und α ∈ L sei algebraisch über K. Das Minimalpolynom m_{α} von α über K habe den Grad n. Dann gilt:

a) [K(α) : K] = n (= grad(m_{α}))

b) {1, α, α^{2}, …, α^{n−1}} ist eine K–Basis von K(α) .

\underline{(7.10) KOROLLAR:} L : K sei eine einfache Körpererweiterung, und es gelte L = K(α) mit α ∈ L. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

a) L : K ist endlich

b) α ist algebraisch über K.

\underline{(7.11) DEF:} L : K sei eine Körpererweiterung, und α ∈ L sei algebraisch über K. Dann heißt

[K(α) : K] =: grad_{K}(α)

der Grad von α über K.

\underline{(7.12) DEF:} Eine Körpererweiterung L : K heißt algebraisch, wenn \underline{jedes} Element aus L algebraisch über K ist. L : K heißt transzendent, wenn L : K nicht algebraisch ist.

\underline{(7.13) SATZ:} L : K sei eine \underline{endliche} Körpererweiterung. Dann gilt:

a) L : K ist algebraisch

b) Für jedes α ∈ L ist grad_{K}(α) ein Teiler von [L : K] .

\underline{(7.14) SATZ:} Für eine Körpererweiterung L : K sind folgende Aussagen äquivalent:

a) L : K ist endlich

b) Es gibt endlich viele über K algebraische Elemente α_{1}, …, α_{n} ∈ L mit L = K(α_{1}, …, α_{n}) .

\underline{(7.15) SATZ:} E sei ein Zwischenkörper der Körpererweiterung L : K. Dann gilt: L : K algebraisch ⟺ L : E algebraisch \underline{und} E : K algebraisch.