Kap. II : Körpererweiterungen

§6 Der Begriff der Körpererweiterung

Wir betrachten im folgenden die Situation, daß in einem Körper L ein Unterkörper K gegeben ist.

\underline{(6.1) DEF:} Es sei L ein Körper und K ⊆ L ein Unterkörper. Dann heißt L ein Erweiterungskörper von K, und man spricht von einer Körpererweiterung (KE) L : K (lies: L über K). Jeder Unterkörper E mit K ⊆ E ⊆ L heißt ein Zwischenkörper (ZK) der KE L : K.

Beispiel: ℂ ⊇ ℝ ⊇ ℚ , d.h. ℂ : ℚ ist eine KE mit ZK ℝ. K und L sind ZK von L : K.

\underline{(6.2) BEM:} Ist L : K eine Körpererweiterung, so ist L ein Vektorraum über K.

\underline{Bew:} (L, +) ist eine abelsche Gruppe, und die Multiplikation von L liefert die Skalarmultiplikation K × L ⟶ L mit den nötigen Eigenschaften.

\underline{(6.3) DEF:} a) Sei L : K eine Körpererweiterung . Dann heißt die Dimension von L als K– Vektorraum der Grad der Körpererweiterung L : K (in Zeichen: [L : K] := dim_{K}(L) ).

b) Eine Körpererweiterung heißt endlich, wenn ihr Grad endlich ist.

Beispiele: [ℂ : ℝ] = 2 , [ℝ : ℚ] = ∞ , [ℚ(\sqrt{2}) : ℚ] = 2

\underline{(6.4) SATZ:} (Gradsatz) Es sei E ein Zwischenkörper der Körpererweiterung L : K.

a) Sind L : E und E : K endliche Körpererweiterungen, so ist auch L : K endlich, und es gilt

[L : K] = [L : E] · [E : K]

b) Ist L : K eine endliche Körpererweiterung, so sind auch die Körpererweiterungen L : E und E : K endlich.

\underline{Bew:} a) Ist B_{1} := \{α_{1}, …, α_{m}\} eine E–Basis von L und ist B_{2} := \{β_{1}, …, β_{n}\} eine K–Basis von E, so ist

B := {α_{i} · β_{j} | i = 1, 2, …, m , j = 1, 2, …, n}

eine K–Basis von L. Hierbei gilt |B_{1}| = m = [L : E] , |B_{2}| = n = [E : K] und [L : K] = |B| = m · n = [L : E] · [E : K].

b) E ist als Unterraum des K–Vektorraumes L endlichdimensional. Eine K–Basis von L ist auch ein EZS des E–Vektorraumes L, enthält also eine E-Basis von L, so daß [L : E] endlich ist. •

\overbrace{\underbrace{L ⊇}_{[L:E]} E \underbrace{⊇ K}_{[E:K]}}^{[L:K]}

\underline{(6.5) KOROLLAR:} L : K sei eine endliche Körpererweiterung.

a) Für jeden Zwischenkörper E von L : K sind [E : K] und [L : E] Teiler von [L : K] .

b) Ist [L : K] eine Primzahl, so besitzt die Körpererweiterung L : K keinen echten Zwischenkörper.

Beispiel: ℂ : ℝ besitzt keinen echten ZK.

\underline{(6.6) DEF:} Sei L : K eine Körpererweiterung und M ⊆ L eine beliebige Teilmenge.

a) Es bezeichne K(M) den Durchschnitt aller Unterkörper von L, die K ∪ M umfassen. K(M) heißt der von K ∪ M erzeugte Unterkörper von L. Man sagt, daß K(M) durch Körperadjunktion von M zu K entsteht.

b) Es bezeichne K[M] den Durchschnitt aller Unterringe von L, die K ∪ M umfassen. K[M] heißt der von K ∪ M erzeugte Unterring von L. Man sagt, daß K[M] durch Ringadjunktion von M zu K entsteht.

c) Im Falle M = {α_{1}, …, α_{n}} ⊆ L setzt man K(M) =: K(α_{1}, …, α_{n}) und K[M] =: K[α_{1}, …, α_{n}].

\underline{(6.7) SATZ:} Seien L : K eine Körpererweiterung , M ⊆ L eine beliebige Teilmenge und α, α_{1}, …, α_{n} ∈ L. Dann gilt:

a_{1}) K[M] ist der kleinste Unterring von L, der K ∪ M umfaßt.

a_{2}) K(M) ist der kleinste Unterkörper von L, der K ∪ M umfaßt.

b) K ⊆ K ∪ M ⊆ K[M] ⊆ K(M) ⊆ L

c_{1}) K[α] = \{ f(α) | f ∈ K[T] \} c_{2}) K(α) = \{\frac{f(α)}{g(α)} | f, g ∈ K[T], g(α) ≠ 0\}

d_{1}) K[α_{1}, …, α_{n}] = { f(α_{1}, …, α_{n}) | f ∈ K[T_{1}, …, T_{n}] }

d_{2}) K(α_{1}, …, α_{n}) = \{\frac{f(α_{1}, …, α_{n})}{g(α_{1}, …, α_{n})} | f, g ∈ K[T_{1}, …, T_{n}], g(α_{1}, …, α_{n}) ≠ 0\}

\underline{(6.8) DEF:} Eine Körpererweiterung L : K heißt einfach , wenn es ein Element α ∈ L gibt mit der Eigenschaft L = K(α) . α heißt dann ein primitives Element der Körpererweiterung L : K.

\underline{(6.9) BEISPIEL:} L := ℚ(\sqrt{2}) ist eine einfache Körpererweiterung von ℚ mit \sqrt{2} als primitivem Element. Es gilt nach (6.7c_{2})

\begin{aligned}L = ℚ(\sqrt{2}) & = & \{ \frac{f(\sqrt{2})}{g(\sqrt{2})} | f, g ∈ ℚ[T], g(\sqrt{2}) ≠ 0 \} \\ & = & \{h(\sqrt{2}) | h ∈ ℚ[T] \} = \{r + s\sqrt{2} | r, s ∈ ℚ \} = ℚ[\sqrt{2} ] \end{aligned}

Der Grund hierfür ist die Tatsache (\sqrt{2})^{2} = 2 oder anders ausgedrückt: \sqrt{2} ist Nullstelle des Polynoms T^{2} − 2 ∈ ℚ[T]. Solche Elemente werden wir algebraisch nennen.