§ 5. Irreduzibilitätskriterien

\underline{(5.1) LEMMA:} Sei K ein Körper und f ∈ K[T]. Dann gilt:

a) Jedes Polynom f ∈ K[T] vom Grade 1 ist irreduzibel.

b) Ein Polynom f ∈ K[T] vom Grade ≥ 2, das eine Nullstelle in K besitzt, ist reduzibel.

c) \underline{grad(f) ∈ \{2, 3\}}: f irreduzibel über K ⟺ f hat keine Nullstelle in K.

d) Besitzt ein Polynom f ∈ K[T] vom Grade ≥ 4 keine Nullstelle in K, so ist f nicht notwendig irreduzibel. \underline{Bew:} b) Besitzt f eine Nullstelle a ∈ K, so spaltet a den Linearfaktor T − a ab (4.6a). Wegen grad(f) ≥ 2 ist dann T − a ein nichttrivialer Teiler von f, d.h. f ist nicht irreduzibel.

c) “⟹” gilt nach b) “⟸” Besitzt f keine Nullstelle in K, so hat f keinen Teiler vom Grade 1 aus K[T]. Wäre f reduzibel, so müßte aber f mindestens einen Teiler vom Grade 1 haben, da f den Grad 2 oder 3 hat.

d) Das Polynom f = (T^{2} − 2)(T^{2} − 3) ∈ Q[T] ist reduzibel, besitzt aber keine Nullstelle in Q .

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\underline{(5.2) SATZ:} Irreduzibilitätskriterium von Eisenstein

f = ∑_{k=0}^{m} a_{k}T^{k} ∈ ZZ[T] sei ein Polynom vom Grade m ≥ 1 mit teilerfremden Koeffizienten. Es gebe eine Primzahl p ∈ ZZ mit

p| a_{k} (∀ k ∈ {0, 1, …, m − 1}) , p^{2} |̸ a_{0}

Dann ist f irreduzibel über ZZ.

\underline{Bew:} Wegen ggT(a_{0}, a_{1}, …, a_{m}) = 1 folgt p |̸a_{m}. Annahme: f ist reduzibel. Dann ist f das Produkt zweier echter Teiler g = ∑_{j=0}^{r} b_{j}T^{j} und h = ∑_{k=0}^{s} c_{k}T^{j} mit b_{r} ≠ 0 und c_{s} ≠ 0.

Annahme: grad(g) = 0, dh. g ∈ ZZ \ {0}. Aus f = g · h folgt dann, daß g jeden Koeffizienten von f teilt, also g ∼ 1. Damit ist aber g dann kein echter Teiler von f. Widerspruch! Folglich r > 0 und ebenso s > 0. Aus a_{0} = b_{0}c_{0} und p| a_{0} ergibt sich wegen der Primzahleigenschaft von p: p| b_{0} oder p| c_{0}. Es können aber beide Bedingungen nicht gleichzeitig gelten: Aus p| b_{0} und p| c_{0} würde nämlich p^{2}| a_{0} im Gegensatz zur Voraussetzung folgen. Gelte o.B.d.A. p| b_{0} (⟹ p |̸ c_{0}). Nun können nicht alle Koeffizienten von g durch p teilbar sein, da dies sonst auch für alle Koeffizienten von f folgen würde. Daher existiert ein i ∈ {0, 1, …, m} mit

p| b_{0}, p| b_{1}, …, p| b_{i−1}, p |̸ b_{i} (0 ≤ i ≤ r < m)

Für den Koeffizienten a_{i} von f ergibt sich damit

a_{i} = \underbrace{b_{0}c_{i} + b_{1}c_{i−1} + … + b_{i−1}c_{1}}_{durch p teilbar} +b_{i}c_{0} = px + b_{i}c_{0}

Nach Vor. ist a_{i} durch p teilbar, damit p| b_{i}c_{0}. Folglich p| b_{i} oder p| c_{0} , was aber beides nicht möglich ist. Widerspruch !

Ein Polynom, das die Bedingungen aus (5.2) erfüllt, heißt ein Eisenstein–Polynom (zur Primzahl p). Ist f insbesondere normiert, so sind alle Koeffizienten von f teilerfremd.

\underline{(5.3) BEISPIELE:} a) T^{4} + 4T + 2 ∈ ZZ[T] ist ein Eisenstein–Polynom für p = 2 und daher irreduzibel.

b) T^{n} − p ∈ ZZ[T] ist für jedes n ∈ IN und für jede Primzahl p ∈ IP irreduzibel.

!!! Es ist von vorneherein nicht klar, daß ein irreduzibles Polynom aus ZZ[T] auch irreduzibel über Q ist. Daß dies doch der Fall ist, zeigt das folgende Ergebnis.

\underline{(5.4) SATZ:} Lemma von Gauß

R sei ein HIB und K := Q(R) der Quotientenkörper von R. Dann gilt für ein Polynom f ∈ R[T] vom Grade ≥ 1:

f irreduzibel in R[T] ⟹ f irreduzibel in K[T]

\underline{BEM:} Die Umkehrung von (5.4) gilt nicht: 2T + 2 ist irreduzibel über Q, aber reduzibel über ZZ.

\underline{(5.5) BEISPIELE:} a) 2T^{5} − 3T^{3} + 9T − 12 ∈ ZZ[T] ist irreduzibel über Q (Eisenstein– Polynom für p = 3).

b) T^{n} − p ∈ Q[T] ist irreduzibel für alle n ∈ IN , p ∈ IP. Nach (5.1b) folgt ^{n} \sqrt{p} ∉ Q

∀ n ∈ IN, n ≥ 2, ∀ p ∈ IP.

Das Polynom f := T^{2} + T + 1 ∈ ZZ[T] ist kein Eisenstein–Polynom zu irgendeinem p. Es läßt sich jedoch durch Einsetzen von T + 1 zu einem solchen transformieren: f(T +1) = (T +1)^{2} +(T +1)+1 = T^{2} +2T +1+T +1+1 = T^{2} +3T +3 ist Eisenstein–Polynom zu p = 3. Daß jetzt auch f irreduzibel ist, zeigt der folgende Satz, der in Aufgabe 17 bewiesen wird:

\underline{(5.6) SATZ:} Es sei R ein IB. Sei g = T − a ∈ R[T] und E_{g} : R[T] ⟶ R[T] der Einsetzungshomomorphismus. Dann gilt:

a) E_{g} ist ein Ringisomorphismus

b) f ∈ R[T] : f irreduzibel ⟺ E_{g}(f) irreduzibel.

\underline{(5.7) BEISPIEL:} Das Polynom f := T^{p−1} + T^{p−2} + … + T^{2} + T + 1 ∈ ZZ[T] ist für jede Primzahl p irreduzibel über ZZ und Q.

Es gilt (T − 1)f = T^{p} − 1. Sei g = T + 1 . Dann folgt E_{g}(T − 1)E_{g}(f) = E_{g}(T^{p} − 1) und

daraus T E_{g}(f) = (T +1)^{p}−1 = ∑_{k=0}^{p} \binom{p}{k}T^{k} −1 = ∑_{k=1}^{p} \binom{p}{k}T^{k} = T (∑_{k=1}^{p} \binom{p}{k}T^{k−1}) ⟹ E_{g}(f) =

∑_{k=1}^{p} \binom{p}{k}T^{k−1} = T^{p−1} + \binom{p}{p − 1}T^{p−2} + … + \binom{p}{2}T + \binom{p}{1} (nach dem binomischen Satz). Da

alle Binomialkoeffizienten \binom{p}{k} für 1 ≤ k ≤ p − 1 durch die Primzahl p teilbar sind (s. Aufg. 11a), ist E_{g}(f) ein Eisenstein–Polynom für p. Daher ist E_{g}(f) irreduzibel und damit auch f.