Chr.Nelius : Algebra (SS 2006) 5

Zum Abschluß und als Anwendung wollen wir noch die multiplikative Gruppe (K^{⋆}, ·) eines endlichen Körpers K untersuchen. Das Ergebnis werden wir später benötigen. Wenn K 4 oder 8 Elemente enthält, so hat K^{⋆} 3 bzw. 7 Elemente und ist daher zyklisch. Dies gilt aber auch allgemein:

\underline{(4.18) SATZ:} Sei K ein Körper. Dann ist jede endliche Untergruppe U von (K^{⋆}, ·) zyklisch. Insbesondere ist die multiplikative Gruppe eines endlichen Körpers zyklisch.

\underline{Bew:} Der Beweis benötigt Ergebnisse aus der Gruppentheorie, wie sie etwa im letzten Semester in der Vorlesung “Grundzüge der Algebra” bereitgestellt wurden.

(U, ·) ist eine endliche abelsche Gruppe. Sei n := |U|. Die Menge {ord(b)| b ∈ U} ⊆ IN der Ordnungen aller Elemente aus U ist endlich und besitzt daher ein größtes Element m. Sei a ∈ U mit \underline{ord(a) = m} . Wir zeigen anschließend

(⋆) ∀ b ∈ U : ord(b) | m

Hieraus ergibt sich dann die Behauptung: Wegen (⋆) gibt es für ein beliebiges b ∈ U ein t ∈ IN mit ord(b) · t = m, also b^{m} = (b^{ord(b)})^{t} = 1^{t} = 1 ∈ K, d.h.

(⋆ ⋆) ∀ b ∈ U : b^{m} = 1

Betrachte das Polynom f := T^{m} − 1 ∈ K[T] . Bezeichnet N die Menge der in K gelegenen Nullstellen von f, so gilt nach (4.7) |N| ≤ grad(f) = m. Für ein beliebiges b ∈ U folgt wegen (⋆⋆) f(b) = 0, also b ∈ N. Folglich U ⊆ N und |U| ≤ |N| ≤ m = ord(a) ≤ |U| , woraus sich \underline{|U| = ord(a)} ergibt. Aus < a >⊆ U und | < a > | = ord(a) = |U| folgt dann aber U =< a > , d.h. U ist zyklisch mit a als erzeugendem Element.

Nachweis von (⋆) : Annahme: es existiert ein Element c ∈ U mit \underline{ord(c) |̸ m} . Sei l := ord(c). Wegen der Möglichkeit der eindeutigen Primfaktorzerlegung muß es eine Primzahl p geben, die als Faktor in l mit einer höheren Vielfachheit vorkommt als in m, d.h.

l = p^{λ} · l′ mit ggT(p, l′) = 1 , m = p^{μ} · m′ mit ggT(p, m′) = 1 , \underline{λ > μ}

Es folgt

ord(a^{p^{μ}}) = \frac{ord(a)}{p^{μ}} = \frac{m}{p^{μ}} = \frac{p^{μ}m′}{p^{μ}} = m′ , ord(c^{l′}) = \frac{ord(c)}{l′} = \frac{l}{l′} = \frac{p^{λ}l′}{l′} = p^{λ}

Sei d := a^{p^{μ}} · c^{l′} ∈ U. Da a^{p^{μ}} und c^{l′} vertauschbar sind und ihre Ordnungen teilerfremd sind, ergibt sich

ord(d) = ord(a^{p^{μ}} · c^{l′}) = ord(a^{p^{μ}}) · ord(c^{l′}) = m′ · p^{λ} = m · \underbrace{p^{λ−μ}}_{≥2} > m = ord(a)

Dies steht im Widerspruch dazu, daß a als ein Element größter Ordnung aus U gewählt war. Damit ist die Gültigkeit von (⋆) nachgewiesen. •