§ 4. Nullstellen von Polynomen

Sei (R, +, ·) ein kommutativer Ring mit 1_{R} ≠ 0_{R}. Dann ist die Menge R[T] aller Polynome in einer Unbestimmten T wieder ein kommutativer Ring, der sog. Polynomring in einer Unbestimmten über R. Ein Polynom 0 ≠ f ∈ R[T] läßt sich in der Form

f = ∑_{μ=0}^{m} a_{μ}T^{μ}

mit eindeutig bestimmten Koeffizienten a_{μ} ∈ R darstellen. Daher läßt sich ein Koeffizientenvergleich anstellen, um die Gleichheit zweier Polynome festzustellen. Die Summe zweier Polynome wird koeffizientenweise vorgenommen und das Produkt wird als Cauchy–Produkt gebildet, d.h.

f = ∑_{μ=0}^{m} a_{μ}T^{μ} und g = ∑_{ν=0}^{n} a_{ν}T^{ν} ⟹ f · g := ∑_{κ=0}^{m+n} c_{κ}T^{κ} mit c_{κ} := ∑_{μ+ν=κ} a_{μ} + b_{ν}

Als Grad eines Polynoms ≠ 0 ist der größte Index eines Koeffizienten ≠ 0 definiert, so daß sich ein Polynom f vom Grade m ∈ IN_{0} in der Form

f = ∑_{μ=0}^{m} a_{μ}T^{μ} mit a_{m} ≠ 0

darstellen läßt. Es gilt

(4.1a) grad(f + g) ≤ max(grad(f), grad(g)) ∀ f, g ∈ R[T] \ {0}, falls f + g ≠ 0

(4.1b) grad(f · g) ≤ grad(f) + grad(g) ∀ f, g ∈ R[T] \ {0}, falls f · g ≠ 0

(4.1c) Ist R ein IB, so gilt sogar

grad(f · g) = grad(f) + grad(g) ∀ f, g ∈ R[T] \ {0} ,

so daß R[T] selbst wieder ein IB ist.

Unter bestimmten Voraussetzungen läßt sich die Division mit Rest in einem Polynomring ausführen:

\underline{\underline{(4.2) SATZ:}} R sei ein kommutativer Ring mit 1_{R} ≠ 0_{R} und g ∈ R[T] sei ein Polynom, dessen Leitkoeffizient eine Einheit (d.h. invertierbar bzgl. der Multiplikation) in R ist. Dann gibt es zu jedem Polynom f ∈ R[T] eindeutig bestimmte Polynome q, r ∈ R[T] , so daß gilt:

f = qg + r mit r = 0 oder grad(r) < grad(g) .

\underline{\underline{BEM:}} Ist K ein Körper, so ist jedes Element ≠ 0 eine Einheit. Folglich läßt sich in K[T] Division mit Rest durch jedes Polynom ≠ 0 durchführen. Dies hat insbesondere zur Konsequenz, daß ein Polynomring über einem Körper ein Hauptidealbereich ist, d.h. ein IB, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist.

Chr. Nelius: Algebra (SS 2006) 2 \underline{\underline{(4.3) DEF:}} Seien R ≠ 0 ein Ring, S ein Oberring von R und c ∈ S.

a) Ist f = ∑_{μ=0}^{m} a_{μ}T^{μ} ∈ R[T] ein Polynom, so ist der Wert f(c) von f an der Stelle c definiert durch

f(c) := ∑_{μ=0}^{m} a_{μ}c^{μ} ∈ S

b) c ∈ S heißt Nullstelle von f , wenn f(c) = 0_{S} gilt.

c) Die Abbildung E_{c} : R[T] ⟶ S sei definiert durch E_{c}(f) := f(c) . \underline{\underline{(4.4) LEMMA:}} Seien R ≠ 0 ein Ring, S ein Oberring von R und c ∈ S. Dann ist die Abbildung E_{c} : R[T] ⟶ S ein Ringhomomorphismus mit E_{c}(a) = a (∀ a ∈ R) und E_{c}(T) = c. E_{c} heißt Einsetzungshomomorphismus. \underline{\underline{(4.5) LEMMA:}} Seien R ≠ 0 ein Ring, S ein Oberring von R und c ∈ S. Für f ∈ R[T] ist f(c) der Rest bei Division von f durch das Polynom T − c. \underline{\underline{(4.6) KOROLLAR:}} a) Ein Element c ∈ S ist genau dann eine Nullstelle von f ∈ R[T] , wenn es ein Polynom q ∈ S[T] gibt mit f = q · (T − c) .

b) Ist c ∈ S Nullstelle von f ∈ K[T] , so gibt es ein Polynom q ∈ S[T] und ein m ∈ ℕ mit f = q · (T − c)^{m} und q(c) ≠ 0

m heißt die Vielfachheit der Nullstelle c von f , in Zeichen: m =: μ(f, c) . \underline{\underline{(4.7) SATZ:}} Sei R ein IB. Dann besitzt jedes Polynom f ∈ R[T] vom Grade n ≥ 0 höchstens n Nullstellen in R. \underline{\underline{BEM:}} Für die Gültigkeit der Aussage von (4.7) ist die Nullteilerfreiheit entscheidend: Das Polynom f = T^{2} − 1 ∈ ℤ_{8} hat 4 Nullstellen in ℤ_{8} , ℤ_{8} ist nicht nullteilerfrei. Damit wissen wir etwas über die Anzahl der Nullstellen eines Polynoms. Schwieriger läßt sich die Frage nach der Existenz von Nullstellen eines Polynoms beantworten. \underline{\underline{BEISPIEL:}} Das Polynom f = T^{2} + 1 ∈ ℝ[T] besitzt keine Nullstellen in ℝ besitzt jedoch in dem ℝ umfassenden Körper ℂ zwei Nullstellen, nämlich i und −i. \underline{\underline{(4.8) DEF:}} R sei ein IB. Sind a, b ∈ R, so heißt a assoziiert zu b (in Zeichen: a ∼ b), wenn es eine Einheit e ∈ R^{⋆} gibt mit der Eigenschaft a = be. \underline{\underline{(4.9) BEM:}} a) Es gilt a ∼ b ⟺ (a) = (b) .

b) ∼ ist eine Äquivalenzrelation auf R.

c) [1_{R}]_{∼} = R^{⋆} (Menge der Einheiten in R) .

\underline{\underline{(4.10) DEF:}} R sei ein IB . Ein Polynom f ∈ R[T] heißt irreduzibel (über R) , wenn gilt:

i) f ≠ 0 und f ist keine Einheit in R[T] . ii) Für jedes Polynom g ∈ R[T] mit g | f folgt g ∼ 1 oder g ∼ f . Ein Polynom, das nicht irreduzibel (über) R ist, heißt reduzibel (über R) .

\underline{\underline{(4.11) BEM:}} a) p ∈ IP ⟹ p ∈ ℤ[T] irreduzibel

b) f = 2T + 2 ∈ ℤ[T] ist reduzibel über ℤ.

c) 2T + 3 , T − 7 sind irreduzibel über ℤ.

d) Ist R ein IB, so kann ein irreduzibles Polynom vom Grade ≥ 2 keine Nullstelle in R besitzen.

e) Ist K ein Körper, so ist ein Polynom f ∈ K[T] genau dann irreduzibel, wenn gilt: i) grad(f) ≥ 1 und ii) ∀ g ∈ K[T] : g | f ⟹ grad(g) = 0 oder grad(g) = grad(f) .

f) 2T + 2 ist irreduzibel über ℚ. Jedes lineare Polynom über einem Körper ist irreduzibel.

g) f = T^{2} − 3T + 2 ∈ ℝ[T] ist reduzibel, da f(1) = 0 .

h) f = 2T^{3} + 3T^{2} + 6T + 9 ∈ ℝ[T] ist reduzibel, da grad(f) = 3 ungerade.

i) Über ℂ ist jedes Polynom vom Grade ≥ 2 reduzibel.

j) T^{2} + 1 ist irreduzibel über ℤ, ℚ und ℝ, jedoch reduzibel über ℂ.

\underline{\underline{(4.12) SATZ:}} Sei K ein Körper. Dann läßt sich jedes Polynom f ∈ K[T] vom Grade ≥ 1 als Produkt von (endlich vielen) irreduziblen Polynomen darstellen. Diese Darstellung ist eindeutig bis auf die Reihenfolge und Multiplikation mit Einheiten.

\underline{\underline{(4.13) SATZ:}} Satz von Kronecker K sei ein Körper und f ∈ K[T] ein Polynom vom Grade ≥ 1 . Dann gibt es einen K umfassenden Körper L, in dem f eine Nullstelle besitzt.

\underline{\underline{(4.14) KOROLLAR:}} K sei ein Körper und f ∈ K[T] ein Polynom vom Grade ≥ 1 . Dann gilt:

a) Es gibt einen K umfassenden Körper L, über dem f in Linearfaktoren zerfällt.

b) Es gibt einen kleinsten K umfassenden Unterkörper Z von L , über dem f in Linearfaktoren zerfällt. Z heißt Zerfällungskörper von f über K.

Es kann auch der Fall eintreten, daß über einem Körper K jedes Polynom vom Grade ≥ 1 in Linearfaktoren zerfällt.

\underline{\underline{(4.15) LEMMA:}} Für einen Körper K sind folgende Aussagen äquivalent:

a) Jedes nichtkonstante Polynom aus K[T] besitzt eine Nullstelle in K

b) Jedes nichtkonstante Polynom aus K[T] zerfällt über K in Linearfaktoren.

c) Jedes über K irreduzible Polynom hat den Grad 1 (ist linear) .

Chr. Nelius: Algebra (SS 2006) 4 \underline{\underline{(4.16) DEF:}} Ein Körper K heißt algebraisch abgeschlossen, wenn jedes nichtkonstante Polynom aus K[T] eine Nullstelle in K besitzt. \underline{\underline{(4.17) BEM:}} a) ℂ ist algebraisch abgeschlossen (Fundamentalsatz der Algebra)

b) Man kann zeigen, daß sich jeder Körper K in einen algebraisch abgeschlossenen Körper einbetten läßt (algebraischer Abschluß von K) .