§ 3. Die Charakteristik eines Körpers

Sei (R, +, ·) ein Ring. Mit 0_{R} wird das Nullelement des Ringes und mit 1_{R} das Einselement des Ringes bezeichnet. Für m ∈ ℤ und a ∈ R definieren wir das Vielfache ma ∈ R von a durch die Vorschrift

ma := \{ \begin{matrix}0_{R} & für m = 0 \\ (m − 1)a + a & für m ≥ 1 \\ −((−m)a) & für m < 0 \end{matrix}

Dies entspricht die Bildung der Potenz in der abelschen Gruppe (R, +) , so daß dann die folgenden Potenzregeln gelten:

(m + n)a = ma + na , (mn)a = m(na) , m(a + b) = ma + mb

Man erhält speziell für a = 1_{R}, daß die Abbildung

f_{R} : ℤ ⟶ R , m ⟼ m1_{R}

ein Ringhomomorphismus ist. Falls f_{R} injektiv ist, findet man dann die ganzen Zahlen in dem Ring R wieder.

\underline{\underline{(3.1) DEF:}} Sei R ein Ring. Gibt es dann ein m ∈ ℕ = \{1, 2, 3, …\} mit m1_{R} = 0_{R}, so sagt man, daß der Ring R eine endliche Charakteristik besitzt und nennt

char(R) := min{ k | k ∈ ℕ , k1_{R} = 0_{R} }

die Charakteristik von R. Im anderen Fall setzt man

char(R) := 0

und nennt R einen Ring der Charakteristik 0 .

\underline{\underline{(3.2) BEM:}} a) char(ℤ_{n}) = n (n ∈ ℕ) , char(ℤ) = 0

b) Ist char(R) = m endlich, so ist m gerade die Ordnung von 1_{R} in der Gruppe (R, +) . Es gilt dann

∀ k ∈ ℤ : k1_{R} = 0_{R} ⟹ m | k

char(R) = 0 dagegen ist gleichbedeutend damit, daß 1_{R} unendliche Ordnung in (R, +) besitzt.

c) Es gilt: char(R) = 0 ⟺ f_{R} ist injektiv und char(R) > 0 ⟺ f_{R} ist nicht injektiv.

\underline{\underline{(3.3) SATZ:}} Die Charakteristik eines Integritätsbereiches ist entweder 0 oder eine Primzahl. Dies gilt insbesondere für Körper.

\underline{\underline{(3.4) LEMMA:}} Ist f : R ⟶ S ein injektiver Ringhomomorphismus, so gilt char(R) = char(S) .

\underline{\underline{(3.5) KOROLLAR:}} Ist U ⊆ R Unterring eines Ringes R, so gilt char(U) = char(R) .

\underline{\underline{(3.6) SATZ:}} Sei K ein Körper. Dann gilt:

a) Der Durchschnitt über ein beliebiges System von Unterkörpern von K ist wieder ein Unterkörper von K.

b) Der Durchschnitt P (K) über \underline{alle} Unterkörper von K ist der kleinste Unterkörper von K, d.h. P (K) ist ein Unterkörper von K, und es gilt: ist U ⊆ K ein beliebiger Unterkörper von K, so folgt P (K) ⊆ U .

P (K) heißt der Primkörper von K.

\underline{\underline{BEISPIELE:}} P (ℂ) = P (ℝ) = P (ℚ) = ℚ , P (ℤ_{p}) = ℤ_{p} (p ∈ IP) (s. Übungen)

\underline{\underline{(3.7) SATZ:}} Sei K ein Körper und P (K) der Primkörper von K. Dann gilt:

a) char(K) = 0 ⟺ P (K) ≅ ℚ

b) char(K) = p ⟺ P (K) ≅ ℤ_{p} (p ∈ IP) .

\underline{\underline{(3.8) KOROLLAR:}} Sei K ein endlicher Körper der Charakteristik p ∈ IP . Dann gibt es ein n ∈ ℕ mit

|K| = p^{n} .