C) Konstruktion von � aus �

(ℚ, +, ·, ≤) ist ein archimedisch angeordneter Körper, d.h. ein angeordneter Körper, in dem es zu jedem Element q ∈ ℚ ein n ∈ ℕ gibt mit q < n. Wir stellen allerdings folgende “Mängel” fest:

I) Es gibt nichtleere, nach oben beschränkte Teilmengen von ℚ, die kein Supremum in ℚ besitzen (d.h. (ℚ, ≤) ist nicht vollständig geordnet). Ein Beispiel ist

T := { x | x ∈ ℚ , x^{2} < 2 } .

Ein Supremum s ∈ ℚ von T müßte s^{2} = 2 erfüllen, also eine Quadratwurzel aus 2 sein.

II) Es gibt Cauchy–Folgen rationaler Zahlen, die keinen Grenzwert in ℚ besitzen.

Def: Eine Folge (a_{n})_{n∈ℕ} rationaler Zahlen heißt eine Cauchy–Folge , wenn gilt:

Zu jedem ε ∈ ℚ mit ε > 0 gibt es ein n_{0}(ε) ∈ ℕ, so daß gilt:

∀ m, n ∈ ℕ : m, n ≥ n_{0}(ε) ⟹ | a_{m} − a_{n} | < ε .

Beispiel: Die Folge (x_{n})_{n∈ℕ} , die rekursiv definiert ist durch

x_{1} := 1 , x_{n+1} := \frac{1}{2} (x_{n} + \frac{2}{x_{n}} ) (n ≥ 2)

ist zwar eine Cauchy–Folge rationaler Zahlen, ist allerdings nicht konvergent: für einen Grenzwert g ∈ ℚ dieser Folge müßte g^{2} = 2 gelten , was unmöglich ist.

\underline{\underline{(2.14) SATZ:}} Es gilt:

a) Die Menge CF aller Cauchy–Folgen rationaler Zahlen ist ein kommutativer Ring.

b) Die Teilmenge N aller Nullfolgen ist ein Ideal in CF .

c) Der Faktorring

ℝ := CF/N

ist ein Körper, der sog. Körper der reellen Zahlen .

\underline{\underline{(2.15) BEM:}} a) ℝ läßt sich äquivalent als Quotientenmenge CF/ρ bilden, wobei ρ die durch

(a_{n}) ρ (b_{n}) :⟺ (a_{n} − b_{n}) ist eine Nullfolge

definierte Äquivalenzrelation auf CF ist.

b) Die Abbildung α : ℚ ⟶ ℝ , q ⟼ [ (q) ]_{N} , ist ein injektiver Ringhomomorphismus (hierbei ist (q) die konstante Folge (q, q, q, q, …) ) , so daß wir durch Identifizierung ℚ ⊆ ℝ erhalten. c) Auf ℝ läßt sich eine lineare Ordnungsrelation ≤ definieren, so daß (ℝ, +, ·, ≤) zu einem vollständig angeordneten Körper wird. Jede Cauchy–Folge reeller Zahlen ist dann konvergent, und jede nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge von ℝ besitzt ein Supremeum in ℝ.

d) Jede reelle Zahl ist Grenzwert einer Folge rationaler Zahlen.

e) Bis auf Isomorphie ist ℝ der einzige vollständig angeordnete Körper.

f) Während ℕ, ℤ und ℚ alle gleichmächtig sind (abzählbar unendlich sind), sind ℚ und ℝ nicht mehr gleichmächtig. ℝ ist überabzählbar.

g) Andere Möglichkeiten für die Konstruktion von ℝ benutzen Dedekind’sche Schnitte oder Intervallschachtelungen .

D) Konstruktion von � aus �

Der Körper der reellen Zahlen hat den “Mangel”, daß es Polynome über ℝ gibt, die keine Nullstellen in ℝ haben (z.B. das Polynom T^{4} + 1 ∈ ℝ[T]) . Dies äußert sich insbesondere in der Tatsache, daß man nicht immer Wurzeln aus einer rellen Zahl ziehen kann.

\underline{\underline{(2.16) SATZ:}} a) Der Faktorring

ℂ := ℝ[T]/(T^{2} + 1)

ist ein Körper.

b) Die Abbildung α : ℝ ⟶ ℂ , r ⟼ [r] , ist ein (injektiver) Körperhomomorphismus, so daß sich α(r) mit r ∈ ℝ identifizieren läßt .

c) Es gibt ein Element i ∈ ℂ mit der Eigenschaft i^{2} = −1 .

d) Jede komplexe Zahl z ∈ ℂ läßt sich in der Form z = a + i · b mit eindeutig bestimmten reellen Zahlen a und b darstellen (arithmetische Darstellung von z) .

\underline{\underline{(2.17) BEM:}} a) Der Körper ℂ ist algebraisch abgeschlossen , d.h. jedes nichtkonstante Polynom aus ℂ[T] besitzt mindestens eine Nullstelle in ℂ. Dies besagt der Fundamentalsatz der Algebra , der 1799 zum ersten Mal von Gauß bewiesen wurde. Einen Beweis führt man am einfachsten mit funktionentheoretischen Methoden.

b) ℂ läßt sich nicht zu einem angeordneten Körper machen, da sonst Quadrate komplexer Zahlen nichtnegativ sein müßten, insbesondere i^{2} = −1 ≥ 0 . Aber −1 < 0 !