B) Konstruktion von � aus �

ℤ ist ein IB, in dem 1 und −1 die einzigen Einheiten sind (das sind die bzgl. der Multiplikation invertierbaren Elemente) . Gleichungen der Form

a + x = b

haben für beliebige a, b ∈ ℤ immer eine Lösung in ℤ. Dagegen sind Gleichungen der Form

a · x = b

mit a, b ∈ ℤ i.a. nicht in ℤ lösbar. Wir wollen daher ℤ in einen Körper (nämlich den Körper der rationalen Zahlen) einbetten, in dem dann diese Gleichungen für alle a ≠ 0 Lösungen besitzen.

\underline{\underline{(2.7) LEMMA:}} Durch die Vorschrift

(a, b)ρ(c, d) :⟺ ad = bc (a, c ∈ ℤ; b, d ∈ ℤ \ {0})

wird eine Äquivalenzrelation ρ auf dem kartesischen Produkt ℤ × (ℤ \ {0}) definiert.

\underline{\underline{(2.8) DEF:}} Die Quotiententenmenge

ℚ := ℤ × (ℤ \ {0})/ρ

heißt Menge der rationalen Zahlen . Eine Äquivalenzklasse

[ (a, b) ]_{ρ} =: \frac{a}{b} ( (a, b) ∈ ℤ × (ℤ \ \{0\}) )

heißt rationale Zahl .

Achtung: \frac{a}{b} bezeichnet die Äquivalenzklasse von (a, b) und nicht das Ergebnis irgendeiner Rechenoperation!

\underline{\underline{(2.9) SATZ:}} a) Seien \frac{a}{b} , \frac{c}{d} ∈ ℚ. Durch die Vorschriften

\frac{a}{b} + \frac{c}{d} := \frac{ad + bc}{bd} , \frac{a}{b} · \frac{c}{d} := \frac{ac}{bd}

werden eine Addition und eine Multiplikation auf ℚ definiert, so daß (ℚ, +, ·) zu einem Körper wird.

b) Seien \frac{a}{b} , \frac{c}{d} ∈ ℚ mit b, d ∈ ℕ. Dann wird durch die Vorschrift

\frac{a}{b} ≤ \frac{c}{d} :⟺ ad ≤ bc

eine lineare Ordnungsrelation auf ℚ definiert, so daß (ℚ, +, ·, ≤) zu einem angeordneten Körper wird.

Chr. Nelius: Algebra (SS 2006) 4 \underline{\underline{BEM:}} Achte auf die Wohldefiniertheit der Rechenoperationen und der Relation ! \underline{\underline{(2.10) DEF:}} Ein Körper (K, +, ·) heißt angeordneter Körper , wenn es auf K eine lineare Ordnungsrelation ≤ gibt, die mit den beiden Rechenoperationen verträglich ist, d.h.

a) x ≤ y ⟹ x + z ≤ y + z (∀ x, y, z ∈ K)

b) x ≤ y ⟹ x · z ≤ y · z (∀ x, y, z ∈ K mit z ≥ 0) . \underline{\underline{(2.11) LEMMA:}} Die Abbildung α : ℤ ⟶ ℚ definiert durch α(a) := \frac{a}{1} für a ∈ ℤ ist ein injektiver Ringhomomorphismus, und es gilt

ℚ = { α(a) · α(b)^{−1} | a ∈ ℤ , b ∈ ℤ \ {0} } .

\underline{\underline{BEM:}} Nimmt man die Identifizierung α(a) = a für a ∈ ℤ vor, so können wir ℤ als Teilmenge von ℚ und insbesondere auch als Unterring von ℚ auffassen. Wir wollen jetzt allgemeiner die obige Konstruktion für einen beliebigen IB vornehmen. \underline{\underline{(2.12) SATZ:}} R sei ein IB. Dann gilt:

a) Es gibt einen Körper K und einen injektiven Ringhomomorphismus α : R ⟶ K, so daß gilt

K := { α(a)α(b)^{−1} | a, b ∈ R, b ≠ 0 }

b) K ist bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. K heißt Quotientenkörper von R und wird mit Q(R) bezeichnet. \underline{\underline{(2.13) BEISPIELE:}} a) Q(ℤ) = ℚ

b) Ist K ein Körper, so ist der Polynomring K[T] in einer Unbestimmten über K insbesondere ein IB und läßt sich infolgedessen in seinen Quotientenkörper einbetten.

Q(K[T]) = \{ \frac{f}{g} | f, g ∈ K[T], g ≠ 0 \} =: K(T)

heißt Körper der rationalen Funktionen in der Unbestimmten T über K . Dabei bezeichnet \frac{f}{g} die Äquivalemzklasse [(f, g)] .