§ 2. Zahlbereichserweiterungen

A) Konstruktion von � aus �

Wir setzen die Menge ℕ = {1, 2, 3, 4, …} der natürlichen Zahlen als gegeben voraus. Die Grundeigenschaften von ℕ werden durch die PEANO–Axiome beschrieben. Damit lassen sich dann eine Addition, Multiplikation und Ordnungsrelation auf ℕ definieren mit folgenden Eigenschaften:

• die Addition + ist eine assoziative und kommutative Verknüpfung auf ℕ, d.h. (ℕ, +) ist eine kommutative Halbgruppe. Es gilt die folgende Kürzungsregel ∀ k, m, n ∈ ℕ : k + m = k + n ⟹ m = n

• die Multiplikation · ist eine assoziative und kommutative Verknüpfung auf ℕ, die 1 als neutrales Element besitzt, d.h. (ℕ, ·) ist eine kommutative Halbgruppe mit neutralem Element. Es gilt die folgende Kürzungsregel ∀ k, m, n ∈ ℕ : k · m = k · n ⟹ m = n

• Die Ordnungslrelation ≤ auf N ist linear und mit + und · verträglich, d.h. es gilt ∀ k, m, n ∈ ℕ : m ≤ n ⟹ k + m ≤ k + n ∀ k, m, n ∈ ℕ : m ≤ n ⟹ k · m ≤ k · n

\underline{\underline{(2.1) LEMMA:}} Auf der Menge ℕ × ℕ sei die Relation ρ definiert durch

(m, n)ρ(m′, n′) ⟺ m + n′ = n + m′ (m, m′, n, n′ ∈ ℕ)

Dann ist ρ eine Kongruenzrelation auf der kommutativen Halbgruppe (ℕ × ℕ, +) .

\underline{\underline{(2.2) SATZ:}} Auf der Quotientenmenge ℤ := ℕ × ℕ/ρ sei eine Addition + definiert durch die Vorschrift

[(m, n)]_{ρ} + [(m′, n′)]_{ρ} := [(m + m′, n + n′)]_{ρ} (m, m′, n, n′ ∈ ℕ)

Dann gilt:

a) (ℤ, +) ist eine abelsche Gruppe. Dabei ist [(1, 1)]_{ρ} das neutrale Element und [(n, m)]_{ρ} das zu [(m, n)]_{ρ} negative Element.

b) Die Abbildung α : ℕ ⟶ ℤ , m ⟼ [(m + m, m)]_{ρ} ist ein injektiver Halbgruppenhomomorphismus, und es gilt

ℤ = { α(m) − α(n) | m, n ∈ ℕ } .

\underline{\underline{(2.3) BEM:}} a) Identifiziert man α(m) mit m ∈ ℕ, so erhält man

ℕ ⊆ ℤ und ℤ = { m − n | m, n ∈ ℕ }

Setzt man noch −α(m) =: −m und [(1, 1)]_{ρ} =: 0 so ergibt sich die gewohnte Darstellung

ℤ = {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, …}

b) ℤ ist durch die Eigenschaften in (2.2) bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.

c) Die oben beschriebene Konstruktion von ℤ läßt sich folgendermaßen verallgemeinern:

\underline{\underline{(2.4) SATZ:}} (H, +) sei eine kommutative Halbgruppe mit Kürzungsregel. Dann gilt:

a) Es gibt eine Gruppe (G, +) und einen injektiven Halbgruppenhomomorphismus α : H ⟶ G mit

G := { α(a) − α(b) | a, b ∈ H }

b) (G, +) ist bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.

Wir wollen jetzt noch auf ℤ eine Multiplikation definieren, so daß ℤ zu einem Ring wird.

\underline{\underline{(2.5) SATZ:}} Durch die Vorschrift

[(m, n)]_{ρ} · [(m′, n′)]_{ρ} := [(m · m′ + n · n′, m · n′ + n · m′)]_{ρ} (m, m′, n, n′ ∈ ℕ)

wird eine Multiplikation auf ℤ definiert, so daß (ℤ, +, ·) ein kommutativer Ring mit 1 ≠ 0 wird.

\underline{\underline{(2.6) BEM:}} a) Durch

[(m, n)]_{ρ} ≤ [(m′, n′)]_{ρ} := m + n′ ≤ n + m′ (m, m′, n, n′ ∈ ℕ)

wird eine lineare Ordnungsrelation auf ℤ definiert, die mit + und · verträglich ist, d.h. ∀ a, b, c ∈ ℤ : a ≤ b ⟹ a + c ≤ b + c ∀ a, b ∈ ℤ ∀ c ∈ ℤ \underline{c ≥ 0} : a ≤ b ⟹ a · c ≤ b · c.

b) ℤ ist außerdem ein Integritätsbereich (IB), d.h. ℤ ist nullteilerfrei:

∀ a, b ∈ ℤ : a · b = 0 ⟹ a = 0 ∨ b = 0 .