Beispiele: 6) Für g ∈ G ist [ g] = { h | h ∈ G ∧ h ∥ g }. Damit ist [ g] die Menge aller zu g parallelen Geraden. Das Kennzeichnende für [ g] ist also die gemeinsame Richtung, die alle Geraden aus [ g] haben.

7) Für die Äquivalenzrelation = auf einer Menge M gilt: [ x]_{=} := { y | y ∈ M ∧y = x } = {x}. Also M/_{=} = { { x } | x ∈ M }

12) Für die Kongruenzrelation modulo 2 auf ℤ gilt: [ 0 ] = { x | x ∈ ℤ ∧ x K_{2} 0 } = G (Menge der geraden ganzen Zahlen) [ 1 ] = { x | x ∈ ℤ ∧ x K_{2} 1 } = U (Menge der ungeraden ganzen Zahlen) Ferner gilt [ 2 ] = [ 8 ] = [ −6 ] , [ −1 ] = [ 3 ] = [ −17 ] , ℤ/K_{2} = { [ 0 ], [ 1 ]}

Für die Kongruenzrelation modulo 3 auf ℤ gilt: [ 0 ] = { x | x ∈ ℤ ∧ x K_{3} 0 } = V_{0} [ 1 ] = { x | x ∈ ℤ ∧ x K_{3} 1 } = V_{1} [ 2 ] = { x | x ∈ ℤ ∧ x K_{3} 2 } = V_{2} Es gilt z.B. [ 0 ] = [ 6 ] = [ −9 ] oder [ 1 ] = [ −5 ] = [ 16 ] , und es ist ℤ/K_{3} = { [ 0 ], [ 1 ], [ 2 ] }. Man sieht: Viele der Äquivalenzklassen fallen zusammen, so daß schließlich die Quotientenmenge ℤ/K_{3} = { [ x] | x ∈ ℤ } aus genau drei Klassen besteht. Allgemein können wir beweisen:

\underline{\underline{(1.7) SATZ:}} M sei eine Menge und ρ eine Äquivalenzrelation auf M . Dann gilt:

a) ∀ x ∈ M : x ∈ [ x]_{ρ}

b) ∀ x, y ∈ M : [ x]_{ρ} = [ y]_{ρ} ⟺ x ρ y

c) ∀ x, y ∈ M : [ x]_{ρ} = [ y]_{ρ} ⟺ [ x]_{ρ} ∩ [ y]_{ρ} ≠ ∅

d) ⋃_{[ x]_{ρ}∈M/ρ}[ x]_{ρ} = M .

Bew: a) Wegen Ä_{1}) gilt x ρ x, also x ∈ [ x] .

b) “⟹” x ∈ [ x] = [ y] ⟹ x ∈ [ y] ⟹ x ρ y nach Definition von [ y] .

“⟸” Sei z ∈ [ x] beliebig. Dann gilt z ρ x. Aus der Voraussetzung x ρ y ergibt sich mit der Transitivität z ρ y , also z ∈ [ y]. Damit ist [ x] ⊆ [ y] gezeigt. Analog zeigt man [ y] ⊆ [ x], so daß insgesamt die behauptete Gleichheit folgt.

c) “⟹” [ x] = [ y] ≠ ∅ (nach a)) ⟹ [ x] ∩ [ y] = [ x] ≠ ∅ . “⟸” ∃ z ∈ [ x] ∩ [ y] ⟹ z ρ x ∧ z ρ y. Ä_{3}) und Ä_{2}) liefern hieraus x ρ y ⟹ [ x] = [ y]

d) [ x] ⊆ M ⟹ ⋃_{[ x]∈M/ρ}[ x] ⊆ M .

Umgekehrt: y ∈ M beliebig ⟹ y ∈ [ y] ⟹ y ∈ ⋃_{[ x]∈M/ρ}[ x] , d.h. M ⊆ ⋃_{[ x]∈M/ρ}[ x] . •

Die Äquivalenzklassen bzgl. einer Äquivalenzrelation ρ auf einer Menge M bilden ein disjunktes Mengensystem bestehend aus nichtleeren Teilmengen von M, deren Vereinigung die Menge M ergibt.

\underline{\underline{(1.8) DEF:}} Es sei M eine Menge. Ein System Z von Teilmengen von M heißt eine Zerlegung von M , wenn gilt:

1) ∀ Z ∈ Z : Z ⊆ M und Z ≠ ∅

2) ∀ Z, Z′ ∈ Z : Z ≠ Z′ ⟹ Z ∩ Z′ = ∅

3) ⋃_{Z∈Z} Z = M .

Damit ist die Quotientenmenge eine Zerlegung von M . Umgekehrt bestimmt jede Zerlegung von M eine Äquivalenzrelation auf M , deren Quotientenmenge gerade die gegebene Zerlegung ist.

\underline{\underline{(1.9) SATZ:}} Es sei Z eine Zerlegung der Menge M . Dann wird durch

x ρ y :⟺ ∃ Z ∈ Z : x ∈ Z ∧ y ∈ Z (x, y ∈ M)

eine Äquivalenzrelation ρ auf M definiert mit

[x]_{ρ} = Z , falls x ∈ Z (x ∈ M) .

\underline{Bew:} Übungsaufgabe

Kongruenzrelationen

\underline{\underline{(1.10) DEF:}} (M, ·) sei eine Menge mit einer Verknüpfung, und ρ sei eine Äquivalenzrelation auf M . ρ heißt verträglich mit ·, wenn gilt:

∀ x, x′, y, y′ ∈ M : xρy ∧ x′ρy′ ⟹ (x · x′)ρ(y · y′)

Man nennt ρ dann auch eine Kongruenzrelation auf (M, ·) .

\underline{\underline{(1.11) SATZ:}} (M, ·) sei eine Menge mit einer Verknüpfung, und ρ sei eine Kongruenzrelation auf (M, ·) . Dann wird durch die Vorschrift

[x]_{ρ} ⊙ [y]_{ρ} := [x · y]_{ρ} (x, y ∈ M)

eine Verknüpfung ⊙ auf der Quotientenmenge M/ρ definiert. Weiter gilt:

a) · assoziativ ⟹ ⊙ assoziativ

b) · kommutativ ⟹ ⊙ kommutativ

c) Ist 1 ∈ M neutral bzgl ·, so ist [1]_{ρ} ∈ M/ρ neutral bzgl. ⊙

d) Besitzt (M, ·) ein neutrales Element 1 und ist x ∈ M invertierbar bzgl. ·, so ist [x]_{ρ} invertierbar bzgl. ⊙.

\underline{\underline{(1.12) KOROLLAR:}} ρ sei eine Kongruenzrelation auf einer Gruppe (G, ·) . Dann gilt:

a) (G/ρ, ⊙) ist eine Gruppe

b) Die natürliche Abbildung ν : (G, ·) ⟶ (G/ρ, ⊙) ist ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit Kern(ν) = [1]_{ρ}.

\underline{\underline{(1.13) SATZ:}} (G, ·) sei eine Gruppe und U ≤ G eine Untergruppe. Dann gilt:

a) Durch die Vorschrift a λ_{U} b :⟺ a^{−1}b ∈ U (a, b ∈ G) wird auf G eine Äquivalenzrelation definiert, wobei gilt: [a]_{λ_{U}} = aU (Linksnebenklasse von a nach U) .

b) Durch die Vorschrift a ρ_{U} b :⟺ ab^{−1} ∈ U (a, b ∈ G) wird auf G eine Äquivalenzrelation definiert, wobei gilt: [a]_{ρ_{U}} = Ua (Rechtsnebenklasse von a nach U) .

c) λ_{U} ist genau dann mit · verträglich, wenn U Normalteiler in G ist. In diesem Falle gilt dann: i) λ_{U} = ρ_{U} ii) U = [1]_{λ_{U}} .

\underline{\underline{(1.14) BEM:}} Sei N ein Normalteiler der Gruppe (G, ·) . Dann gilt:

a) Die Äquivalenzrelation λ_{N} = ρ_{N} ist mit · verträglich (1.13c) .

b) G/λ_{N} = G/ρ_{N} = {[a]_{λ_{n}}| a ∈ G } ist eine Gruppe, die sog. Faktorgruppe von G nach N (1.12a) . Diese wird kurz mit G/N bezeichnet.

c) Die natürliche Abbildung ν : G ⟶ G/N ist ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit Kern(ν) = [1]_{λ_{N}} = N (1.12b),(1.13c) .