§ 16 Die Konstruierbarkeit des regelmäßigen n–Ecks

In §8. hatten wir uns mit dem Problem der Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal beschäftigt und dabei eine Lösung für die 3 klassischen Probleme (Verdoppelung des Würfels, Quadratur des Kreises und Dreiteilung eines Winkels) angegeben. Wir greifen jetzt dieses Thema noch einmal auf und wollen insbesondere die Frage stellen, für welche n ∈ ℕ das regelmäßige n–Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist. Gewisse Teilantworten kennen wir schon (in Aufgabe 1 wird das regelmäßige 5–Eck konstruiert, und die Konstruktion des regelmäßigen 6–Ecks ist auch bekannt). Die Eckpunkte eines regelmäßigen n–Ecks, das dem Einheitskreis einbeschrieben ist, sind in der komplexen Zahlenebene gerade die n–ten Einheitswurzeln. Für n ∈ IN setzen wir

ε_{n} = e ^{\frac{2πi}{n}} .

Dann ist das regelmäßige n–Eck genau dann mit Zirkel und Lineal konstruierbar, wenn

ε_{n} ∈ K(M)

gilt, wobei wir im folgenden M = {0, 1} voraussetzen .

Wir behandeln zunächst den Fall, daß n eine Primzahl ist.

\underline{(16.1) LEMMA:} Sei p ∈ IP und ε_{p} = e ^{\frac{2πi}{p}} . Dann gilt:

a) grad_{ℚ} (ε_{p}) = p − 1

b) ℚ(ε_{p}) : ℚ ist eine Galois–Erweiterung mit abelscher (und sogar zyklischer) Galois–Gruppe.

Wir können jetzt beweisen, daß unter bestimmten Voraussetzung auch die Umkehrung in (8.6) gilt.

\underline{(16.2) SATZ:} Sei M = \{0, 1\}. Für die komplexe Zahl α ∈ ℂ sei die Körpererweiterung ℚ(α) : ℚ eine Galois–Erweiterung, deren Galois–Gruppe abelsch ist. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

a) α ∈ K(M)

b) grad_{ℚ} (α) ist eine Zweier–Potenz .

\underline{(16.3) SATZ:} Für eine Primzahl p ≥ 3 sind folgende Aussagen äquivalent:

a) Das regelmäßige p–Eck ist mit Zirkel und Lineal konstruierbar

b) p − 1 ist eine Zweierpotenz

c) p ist eine Fermat’sche Primzahl .

\underline{(16.4) BEM:} Zahlen der Form F_{n} = 2^{2^{n}} + 1 (n ∈ IN_{0}) heißen Fermat’sche Zahlen, die Primzahlen unter diesen Fermat’sche Primzahlen. Für n = 0, 1, 2, 3, 4 ist F_{n} eine Primzahl. Fermat (1601–1665) vermutete, daß alle F_{n} Primzahlen sind. Dann zeigte jedoch Euler (1707–1783), daß F_{5} keine Primzahl ist (641|F_{n}). Weitere Fermat’sche Primzahlen sind bisher nicht gefunden worden. Auch ist nicht bekannt, ob es überhaupt unendlich viele Fermat’sche Primzahlen gibt.

n F_{n} = 2^{2^{n}} + 1  prim
0  3  ja
1  5  ja
2  17  ja
3  257  ja
4  65 537  ja
5 4 294 967 297 = 641 × 6 700 417

Für die 5 bekannten Fermat’schen Primzahlen ist die Konstruktion des regelmäßigen p–Ecks durchgeführt worden:

3–Eck,5–Eck bereits im Altertum bekannt
17–Eck  Gauß (1796)
257–Eck Richelot (1832)
65 537–Eck Hermes (1879–1889)

\underline{(16.5) BEM:} a) Ist das regelmäßige n–Eck konstruierbar, so ist auch das regelmäßige (2^{k}n)– Eck für jedes k ∈ IN konstruierbar .

b) Sind das regelmäßige m–Eck und das regelmäßige n–Eck konstruierbar und gilt ggT(m, n) = 1, so ist auch das regelmäßige (mn)–Eck konstruierbar.

c) Mit (16.3) ergibt sich unter Verwendung von a) und b) das folgende Ergebnis: Ist n von der Form n = 2^{k} · p_{1} · . . . p_{r} (k ≥ 0, r ≥ 0) , wobei p_{1}, …, p_{r} paarweise verschiedene Fermat’sche Primzahlen sind, so ist das das regelmäßige n–Eck konstruierbar. Im folgenden werden wir sehen, daß auch die Umkehrung gilt.

Sei jetzt n ∈ ℕ beliebig. Wir wollen grad_{ℚ} (ε_{n}) bestimmen.

Es bezeichne E_{n} ⊆ ℂ die Menge der n–ten Einheitswurzeln, d.h. der Nullstellen des Polynoms T^{n} − 1 ∈ ℚ[T] . E_{n} ist eine Untergruppe von (ℂ^{⋆}, ·) der Ordnung n. (E_{n}, ·) ist eine zyklische Gruppe, was auch aus (4.18) folgt. Ein erzeugendes Element ε von E_{n} heißt eine primitive n–te Einheitswurzel. Es gilt dann

E_{n} = < ε > = {ε^{0}, ε^{1}, ε^{2}, …, ε^{n−1}}

Z.B. ist ε_{n} = e ^{\frac{2πi}{n}} eine primitive n–te Einheitswurzel. Es gilt

ord(ε^{k}) = n ⟺ ggT(k, n) = 1 .

Bezeichnet E′_{n} die Menge der primitiven n–ten Einheitswurzeln, so gilt damit

|E′_{n}| = φ(n) .

ℚ_{n} ⊆ ℂ bezeichne den Zerfällungskörper des Polynoms T^{n} − 1 über ℚ. ℚ_{n} heißt der n–te Kreisteilungskörper . Es gilt Null_{ℂ} (T^{n} − 1) = E_{n} und

ℚ_{n} = ℚ(E_{n}) = ℚ(ε) ∀ ε ∈ E′_{n} .

ℚ_{n} : ℚ ist eine Galois–Erweiterung als Zerfällungskörper eines separablen Polynoms, und es gilt

[ℚ_{n} : ℚ] = grad_{ℚ} (ε) (ε ∈ E′_{n}) .

Wir müssen jetzt versuchen, das Minimalpolynom von ε ∈ E′_{n} zu bestimmen.

\underline{(16.6) BEM:} Seien m, n ∈ ℕ. Dann gilt:

a) m|n ⟹ E_{m} ⊆ E_{n} b) E_{n} = ⋃_{m|n} E′_{m} (disjunkte Vereinigung)

c) ∑_{m|n} φ(m) = n.

\underline{(16.7) DEF:} Sei n ∈ ℕ. Dann heißt das Polynom Φ_{n} := ∏_{ε∈E′_{n}}(T − ε)

das n–te Kreisteilungspolynom .

\underline{(16.8) BEM:} a) Φ_{n} ∈ ℚ_{n}[T] ist ein normiertes Polynom. Später sehen wir, daß die Koeffizienten von Φ_{n} sogar in ℤ liegen. Jede primitive n–te Einheitswurzel ist eine Nullstelle von Φ_{n}, und es gilt

grad(Φ_{n}) = |E′_{n}| = φ(n) .

b) Ist ε ∈ E′_{n}, so gilt

Φ_{n} = ∏_{\begin{matrix}k = 1 … n \\ ggT(k, n) = 1 \end{matrix}} (T − ε^{k})

\underline{(16.9) LEMMA:} T^{n} − 1 = ∏_{m|n} Φ_{m} .

(16.9) liefert eine Methode zur sukzessiven Bestimmung der Kreisteilungspolynome.

(16.10) BEISPIELE:

n  Φ_{n}
1 Φ_{1} = T − 1
2 T^{2} − 1 = Φ_{1}Φ_{2} = (T − 1)Φ_{2} ⟹ Φ_{2} = T + 1
3 T^{3} − 1 = Φ_{1}Φ_{3} = (T − 1)Φ_{3} ⟹ Φ_{3} = T^{2} + T + 1
4 T^{4} − 1 = Φ_{1}Φ_{2}Φ_{4} = (T − 1)(T + 1)Φ_{4} ⟹ Φ_{4} = T^{2} + 1
p ∈ IP T^{p} − 1 = Φ_{1}Φ_{p} = (T − 1)Φ_{p} ⟹ Φ_{p} = T^{p−1} + T^{p−2} + … + T + 1

In all diesen Fällen ist Φ_{n} sogar ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten, das außerdem irreduzibel über ℚ ist (Φ_{p} ist für p ∈ IP nach (5.7) irreduzibel über ℚ) . Dieses Ergebnis läßt sich allgemein beweisen.

\underline{(16.11) LEMMA:} Für n ∈ ℕ gilt:

a) Φ_{n} ∈ ℤ[T]

b) Φ_{n} ist irreduzibel über ℚ

c) Φ_{n} ist Minimalpolynom einer jeden primitiven n–ten Einheitswurzel über ℚ.

\underline{(16.12) SATZ:} Sei n ∈ ℕ. Dann gilt

a) ℚ_{n} : ℚ ist eine Galois–Erweiterung

b) [ ℚ_{n} : ℚ] = φ(n)

c) Gal(ℚ_{n} : ℚ) ≅ (ℤ_{n}^{⋆}, ·) (Einheitengruppe des Ringes ℤ_{n}) .

Dieser Satz enthält (16.1) als Spezialfall.

\underline{(16.13) KOROLLAR:} grad_{ℚ} (ε_{n}) = φ(n) .

\underline{(16.14) SATZ:} Für n ∈ IN, n ≥ 3 sind folgende Aussagen äquivalent:

a) Das regelmäßige n–Eck ist mit Zirkel und Lineal konstruierbar

b) φ(n) ist eine Zweierpotenz.

\underline{(16.15) KOROLLAR:} Sei n ∈ IN, n ≥ 3 . Genau dann ist das regelmäßige n–Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar, wenn n die folgende Gestalt hat:

n = 2^{k} · p_{1} · . . . p_{r} (k ≥ 0, r ≥ 0),

wobei p_{1}, …, p_{r} paarweise verschiedene Fermat’sche Primzahlen sind.