§ 15 Auflösbarkeit durch Radikale

f ∈ ℚ[T] sei ein normiertes Polynom vom Grade ≥ 1. Wir wollen die Frage untersuchen, ob sich die Nullstellen von f formelmäßig berechnen lassen. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra ist klar, daß f Nullstellen in ℂ besitzt, genauer: es gibt α_{1}, …, α_{r} ∈ ℂ und natürliche Zahlen m_{j} ≥ 1 mit

f = (T − α_{1})^{m_{1}} · . . . · (T − α_{r})^{m_{r}} und ∑_{j=1}^{r} m_{j} = grad(f)

Hierbei sind α_{1}, …, α_{r} die verschiedenen Nullstellen von f , und m_{j} ist die Vielfachheit der Nullstelle α_{j}.

Z := ℚ(α_{1}, …, α_{r})

ist dann der Zerfällungskörper von f über ℚ. Nach (13.8) ist Z : ℚ eine Galois–Erweiterung .

Wir schauen uns jetzt einmal Polynome vom Grade 1,2,3 und 4 etwas genauer an:

\underline{grad(f)=1 :} f = T + q ∈ ℚ[T]

Die einzige Nullstelle ist α_{1} = −q ∈ ℚ , also ZFK_{ℚ} (f) = ℚ(α_{1}) = ℚ.

\underline{grad(f)=2 :} f = T^{2} + pT + q ∈ ℚ[T]

Aus der Schulzeit ist sicher noch die folgende Formel für die Nullstellen von f bekannt, die man durch quadratische Ergänzung erhält. In Spezialfällen kommt sie schon bei den Babyloniern ca. 1900 v.Chr. vor!

α_{1,2} = − \frac{p}{2} ± \sqrt{\frac{p^{2}}{4} − q}

Die Nullstellen von f lassen sich also aus den Koeffizienten von f durch rationale Rechen-

operationen und Wurzelziehen berechnen. Dabei ist D := \frac{p^{2}}{4} −q ∈ ℚ die sog. Diskriminante von f, von der es abhängt, ob f zwei verschiedene reelle Nullstellen, eine doppelte Nullstelle oder zwei nichtreelle konjugiert komplexe Nullstellen besitzt.

Wegen α_{1,2} = − \frac{p}{2} ± \sqrt{D} folgt ZFK_{ℚ} (f) = ℚ(\sqrt{D}) .

\underline{grad(f)=3 :} Durch die Substitution T = T − \frac{a}{3} wird aus dem Polynom T^{3} +aT^{2} +bT +c ∈ ℚ[T] ein Polynom der Form

f = T^{3} + pT + q ,

in dem das quadratische Glied verschwindet. Für die Nullstellenbestimmung ist dies unbedeutend, da man anschließend die Substitution wieder rückgängig machen kann.

\underline{(15.1) SATZ:} Cardano (1545), Tartaglia (1515)

Die Nullstellen α_{1}, α_{2}, α_{3} des Polynoms f = T^{3} +pT +q lassen sich folgendermaßen angeben:

α_{1} = a + b , α_{2} = ε^{2}a + εb , α_{3} = εa + ε^{2}b

mit a = ^{3} \sqrt{−\frac{q}{2} + \sqrt{(\frac{q}{2})^{2} + (\frac{p}{3})^{3}}} , b = \frac{p}{3a} und ε = −\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i\sqrt{3} (ε^{3} = 1) .

Es ist dann Z := ℚ(α_{1}, α_{2}, α_{3}) der Zerfällungskörper von f. Wir wollen jetzt körpertheoretisch die Eigenschaft beschreiben, daß sich die Nullstellen von f formelmäßig angeben lassen.

Für β_{1} := \sqrt{(\frac{q}{2})^{2} + (\frac{p}{3})^{3}} gilt β_{1}^{2} = (\frac{q}{2})^{2} + (\frac{p}{3})^{3} ∈ ℚ =: K_{0}

β_{1} liegt in K_{1} := ℚ(β_{1}) = K_{0}(β_{1}) mit β_{1}^{2} ∈ K_{0} .

Für β_{2} := ^{3} \sqrt{−\frac{q}{2} + β_{1}} gilt β_{2}^{3} = −\frac{q}{2} + β_{1} ∈ ℚ(β_{1}) = K_{1}

β_{2} liegt in K_{2} := K_{1}(β_{2}) mit β_{2}^{3} ∈ K_{1} .

a = β_{2} ∈ K_{2} ⟹ b = −\frac{p}{3a} ∈ K_{2} ⟹ α_{1} = a + b ∈ K_{2} .

Adjungiert man jetzt noch β_{3} := ε zu K_{2} , so liegen alle Nullstellen von f in K_{3} := K_{2}(β_{3}) , wobei wieder gilt β_{3}^{3} = ε^{3} = 1 ∈ K_{2}.

Es folgt: α_{2} = ε^{2}a + εb ∈ K_{3} und α_{3} = εa + ε^{2}b ∈ K_{3} . Insgesamt also α_{1}, α_{2}, α_{3} ∈ K_{3} und damit Z = ℚ(α_{1}, α_{2}, α_{3}) ⊆ K_{3} .

Der Körper K_{3} wird also schrittweise durch Adjunktion von Wurzeln aus Elementen eines darunterliegenden Körpers aufgebaut:

\begin{aligned}K_{0} = ℚ & ⊆ & K_{1} = K_{0}(β_{1}) & ⊆ & K_{2} = K_{1}(β_{2}) & ⊆ & K_{3} = K_{2}(β_{3}) \\ & & β_{1}^{2} ∈ K_{0} & & β_{2}^{3} ∈ K_{1} & & β_{3}^{3} ∈ K_{2} \end{aligned}

\underline{grad(f)=4 :} Durch die Substitution T = T − \frac{a}{4} wird aus dem Polynom T^{4} + aT^{3} + bT^{2} + cT + d ∈ ℚ[T] ein Polynom der Form

f = T^{4} + pT^{2} + qT + r ∈ ℚ[T] .

Die Nullstellen dieses Polynoms lassen sich formelmäßig bestimmen, wobei dieser Fall auf den kubischen Fall zurückgeführt wird. Eine erste Lösung stammt von Ferrari (1540) .

\underline{grad(f) ≥ 5 :} Es wurde lange Zeit vergeblich versucht, auch für Gleichungen vom Grade ≥ 5 allgemeine Lösungsformeln zu finden, bis sich herausstellte, daß dies unmöglich ist.

Abel (1802–1829) bewies 1824 , daß es für allgemeine Gleichungen vom Grade ≥ 5 keine Lösungsformel geben kann.

Galois (1811–1832) gab 1832 konkrete Beispiele für solche Gleichungen an.

Wir wollen im folgenden versuchen, diese Zusammenhänge richtig zu verstehen. Motiviert durch die Überlegungen im Falle grad(f)=3 kommen wir zu der folgenden Definition:

\underline{(15.2) DEF:} Eine Körpererweiterung L : ℚ heißt eine Radikalerweiterung (abgekürzt RE), wenn eine Körperkette

ℚ = K_{0} ⊆ K_{1} ⊆ … ⊆ K_{r−1} ⊆ K_{r} = L ⊆ ℂ

und Elemente β_{j} ∈ L (j = 1, 2, …, r) existieren, so daß gilt:

i) K_{j} = K_{j−1}(β_{j}) (j = 1, 2, …, r)
ii) Es gibt ein n_{j} ∈ IN mit β_{j}^{n_{j}} ∈ K_{j−1} (j = 1, 2, …, r) .

\underline{(15.3) BEM:} a) β_{j}^{n_{j}} ∈ K_{j−1} bedeutet, daß β_{j} eine n_{j}–te Wurzel aus einem Element aus K_{j−1} ist. Damit ist β_{j} algebraisch über K_{j−1} , und es gilt grad_{K_{j−1}}(β_{j}) ≤ n_{j}.

b) Da K_{j} : K_{j−1} endlich ist, ist auch L : ℚ nach dem Gradsatz endlich und damit algebraisch.

c) Ist L : ℚ eine Radikalerweiterung, so gibt es einen Erweiterungskörper R ⊇ L, so daß R : ℚ eine Radikalerweiterung ist , die gleichzeitig eine Galois–Erweiterung ist. Einen Beweis hierfür erhält man durch Induktion nach [L : ℚ] .

Liegen nun alle Nullstellen eines Polynoms f ∈ ℚ[T] in einer Radikalerweiterung L : ℚ, d.h. ZFK_{ℚ} (f) ⊆ L, so lassen sich die Nullstellen von f formelmäßig darstellen. Man definiert daher

\underline{(15.4) DEF:} Ein Polynom f ∈ ℚ[T] heißt durch Radikale auflösbar , wenn es eine Radikalerweiterung L : ℚ gibt, so daß f über L in Linearfaktoren zerfällt (d.h. ZFK_{ℚ} (f) ⊆ L) .

Wir wollen uns jetzt überlegen, welche Konsequenzen diese Eigenschaft auf die Galois–Gruppe von ZFK_{ℚ} (f) : ℚ hat.

\underline{(15.5) BEM:} Sei f ∈ ℚ[T] durch Radikale auflösbar. Man kann dann einen Erweiterungskörper R von L konstruieren, so daß R : K sowohl eine Galois–Erweiterung als auch eine Radikalerweiterung ist.

\underbrace{\overbrace{\underbrace{ℚ ⊆ Z}_{GE} ⊆ L}^{RE} ⊆ R}_{GE + RE}

Diese Konstruktion kann so vorgenommen werden, daß die zu der Radikalerweiterung gehörige Körperkette

(⋆) ℚ = K_{0} ⊆ K_{1} ⊆ … ⊆ K_{r−1} ⊆ K_{r} = R ⊆ ℂ

folgende Eigenschaften besitzt:

1) K_{i+1} : K_{i} ist eine Galois–Erweiterung mit zyklischer Galois–Gruppe (i = 1, 2, …, r − 1)

2) K_{1} : K_{0} ist eine Galois–Erweiterung mit abelscher Galois–Gruppe .

Geht man nun von (⋆) mit Hilfe der Abbildung η aus dem Hauptsatz zu den Untergruppen der Galois–Gruppe H von R : ℚ über , so erhält man

Gal(R : ℚ) ⊇ Gal(R : K_{1}) ⊇ Gal(R : K_{2}) ⊇ … ⊇ Gal(R : K_{r−1}) ⊇ Gal(R : K_{r})
∥  ∥  ∥  ∥  ∥
U_{0}  U_{1}  U_{2}  U_{r−1}  U_{r}

mit U_{0} = H und U_{r} = {id}. Für 1 ≤ i ≤ r − 1 haben wir die Galois–Erweiterungen

\overbrace{R ⊇ \underbrace{K_{i+1} ⊇ K_{i}}_{GE}}^{GE} ⊇ ℚ .

Nach dem Teil II des Hauptsatzes ist dann

U_{i+1} = Gal(R : K_{i+1}) Normalteiler in U_{i} = Gal(R : K_{i}) ,

wobei die Gruppe

Gal(K_{i+1} : K_{i}) ≅ U_{i}/U_{i+1}

zyklisch und damit abelsch ist. Es bleibt der Fall i = 0 :

\overbrace{R ⊇ \underbrace{K_{1} ⊇ K_{0} = ℚ}_{GE}}^{GE}

Wieder ist

U_{1} = Gal(R : K_{1}) Normalteiler in U_{0} = Gal(R : K_{0}) ,

wobei die Gruppe

Gal(K_{1} : K_{0}) ≅ U_{0}/U_{1}

abelsch ist. Insgesamt gibt es also in H eine Kette

H = U_{0} ⊇ U_{1} ⊇ U_{2} ⊇ … ⊇ U_{r−1} ⊇ U_{r} = {id}

von Untergruppen U_{i}, wobei U_{i+1} Normalteiler in U_{i} ist und die Faktorgruppe U_{i}/U_{i+1} abelsch ist.

Wir nehmen dieses Ergebnis zum Anlaß , auflösbare Gruppen zu definieren

Einschub: Auflösbare Gruppen

\underline{(15.6) DEF:} G sei eine Gruppe. Eine Folge (U_{j})_{j=0,1,...,r} von Untergruppen von G heißt Normalreihe in G, wenn gilt:

i) {e} = U_{r} ⊆ U_{r−1} ⊆ … ⊆ U_{1} ⊆ U_{0} = G

ii) Für jedes j = 1, 2, …, r ist U_{j} Normalteiler in U_{j−1} .

Die Faktorgruppen U_{j−1}/U_{j} heißen die Faktoren der Normalreihe (U_{j})_{j=0,1,...,r}.

\underline{(15.7) DEF:} Eine Gruppe G heißt auflösbar, wenn es in G eine Normalreihe mit abelschen Faktoren gibt.

\underline{(15.8) BEISPIELE:} a) Jede abelsche Gruppe G ist auflösbar (es ist nämlich \{e\} ⊆ G eine Normalreihe mit abelschen Faktoren), aber nicht umgekehrt (s.b) ).

b) S_{3} und S_{4} sind auflösbar. Im ersten Fall ist {id} ⊆ A_{3} ⊆ S_{3} eine Normalreihe mit abelschen Faktoren, und im zweiten Fall {id} ⊆ V ⊆ A_{4} ⊆ S_{4} eine solche .

c) Die Diedergruppe D_{n} ist für n ≥ 2 auflösbar. Eine Normalreihe mit abelschen Faktoren ist {id} ⊆< d >⊆ D_{n}, wobei d ∈ D_{n} eine Drehung der Ordnung n ist.

\underline{(15.9) BEM:} a) Untergruppen und Faktorgruppen von auflösbaren Gruppen sind wieder auflösbar.

b) Eine \underline{endliche} Gruppe ist genau dann auflösbar, wenn es eine Normalreihe mit zyklischen Faktoren gibt. Eine Normalreihe mit abelschen Faktoren läßt sich in diesem Falle zu einer Normalreihe mit zyklischen Faktoren “verfeinern”.

c) Eine Gruppe G ist genau dann auflösbar, wenn es ein n ∈ IN gibt, so daß die n–te Ableitung trivial ist. Die Ableitung G′ einer beliebigen Gruppe G ist die Untergruppe von G, die von allen Kommutatoren aba^{−1}b^{−1} (a, b ∈ G) erzeugt wird. G′ ist Normalteiler in G, und die Faktorgruppe G/G′ ist abelsch. G ist genau dann abelsch, wenn G′ trivial ist. Für n ∈ IN_{0} ist die n–te Ableitung G^{(n)} rekursiv definiert als Ableitung der (n − 1)–ten Ableitung (n ≥ 1) , wobei G^{(0)} := G gesetzt wird. Gilt G^{(n)} = {e}, so ist G^{(n)} ⊆ G^{(n−1)} ⊆ … ⊆ G^{(2)} ⊆ G^{(1)} ⊆ G^{(0)} = G eine Normalreihe mit abelschen Faktoren.

d) Die symmetrische Gruppe S_{n} ist genau dann auflösbar, wenn n ≤ 4 ist.

Man kann zeigen: S′_{n} = A_{n} (∀ n ≥ 2) und A′_{n} = A_{n} (∀ n ≥ 5) . Daraus folgt für n ≥ 5

S_{n}^{(k)} ≠ {id} (∀ k ∈ IN)

Also ist S_{n} für n ≥ 5 nicht auflösbar. Nach (15.8) sind S_{1}, S_{2}, S_{3} und S_{4} auflösbar.

Kommen wir jetzt wieder zum Problem der Auflösbarkeit zurück.

\underline{(15.10) SATZ:} Für ein Polynom f ∈ Q[T] sind folgende Aussagen äquivalent:

a) f ist durch Radikale auflösbar

b) Die Galoisgruppe von f ist auflösbar.

\underline{(15.11) KOROLLAR:} Jedes Polynom f ∈ Q[T] vom Grade ≤ 4 ist durch Radikale auflösbar.

\underline{(15.12) BEM:} Man kann zeigen, daß es zu jedem n ∈ IN ein irreduzibles Polynom f_{n} ∈ Q[T] vom Grade n gibt mit Gal_{Q}(f_{n}) ≅ S_{n}. Da S_{n} für n ≥ 5 \underline{nicht} auflösbar ist, gibt es also zu jedem n ≥ 5 ein irreduzibles Polynom über Q vom Grade n, das \underline{nicht} durch Radikale auflösbar ist. Folglich kann es keine allgemeingültigen Lösungsformeln für die Nullstellen von Polynomen vom Grade ≥ 5 geben.

\underline{(15.13) BEISPIELE:} a) Nach (14.7) ist die Galoisgruppe des irreduziblen Polynoms f := T^{5} − 4T + 2 ∈ Q[T] isomorph zu S_{5} und daher nicht auflösbar. Folglich ist auch f nicht durch Radikale auflösbar.

b) Die Galoisgruppe des irreduziblen Polynoms g := T^{5} − 5T + 2 ∈ Q[T] ist isomorph zu D_{5} und daher nach (15.8c) auflösbar. Folglich ist g durch Radikale auflösbar.