Kap. IV. Anwendungen der Galois–Theorie

§ 14. Die Galois–Gruppe eines Polynoms

\underline{(14.1) DEF:} K sei ein Körper, f ∈ K[T] ein Polynom vom Grade ≥ 1 und Z = ZFK_{K}(f) der Zerfällungskörper von f über K. Dann heißt

Gal_{K}(f) := Gal(Z : K)

die Galois–Gruppe von f über K.

\underline{(14.2) BEM:} a) Sind Z und Z′ zwei Zerfällungskörper von f über K, so gibt es nach (9.6) einen K–Isomorphismus Z ⟶ Z′, der nach Aufgabe 39 einen Gruppenisomorphismus

Gal(Z : K) ≅ Gal(Z′ : K)

induziert, d.h. die Galois–Gruppe eines Polynoms ist bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.

b) Ist n := grad(f) , so gilt nach Aufgabe 36)

[Z : K] ≤ n! .

Z : K ist damit eine endliche Körpererweiterung , und mit (10.12) folgt

|Gal_{K}(f)| ≤ [Z : K] ≤ n! .

c) Ist f separabel über K, so ist Z : K nach (13.8) eine Galois–Erweiterung , und es gilt insbesondere

|Gal_{K}(f)| = [Z : K] .

Dies ist z.B. immer der Fall, wenn K vollkommen ist (also z.B. im Falle char(K) = 0 oder K endlich) .

\underline{(14.3) DEF:} Eine Untergruppe U ≤ S_{n} heißt transitiv , wenn es zu i, k ∈ \{1, 2, …, n\} stets ein π ∈ U gibt mit π(i) = k.

\underline{(14.4) SATZ:} K sei ein Körper, f ∈ K[T] ein Polynom vom Grade ≥ 1 , Z = ZFK_{K}(f) der Zerfällungskörper von f über K und G := Gal_{K}(f) die Galois–Gruppe von f über K. Dann gilt:

a) G ist isomorph zu einer Untergruppe der symmetrischen Gruppe S_{m}, wobei m die Anzahl der verschiedenen Nullstellen von f in Z ist.

b) Ist f irreduzibel und separabel über K mit grad(f) = n, so gilt:

1) n ist ein Teiler der Gruppenordnung von G.

2) G ist isomorph zu einer transitiven Untergruppe von S_{n}.

\underline{(14.5) BEM:} a) Die Einbettung von G in S_{m} hängt von der Numerierung der Nullstellen α_{1}, α_{2}, … α_{m} von f ab. Ist N = {α_{1}, … α_{m}}, so ist

σ(N) = {α_{i_{1}}, α_{i_{2}}, … α_{i_{m}}} mit σ(α_{k}) = α_{i_{k}} .

Die Einbettung ω : G ⟶ S_{m} ist dann definiert durch

ω(σ) := ( \begin{matrix}1 & 2 & … & m \\ i_{1} & i_{2} & … & i_{m} \end{matrix} ) .

b) Ist ω′ : G ⟶ S_{m} ein injektiver Gruppenhomomorphismus, der zu einer anderen Numerierung der Nullstellen gehört, so sind U = ω(G) und V = ω′(G) konjugierte Untergruppen von S_{m}, d.h. es existiert ein π ∈ S_{m} mit

U = π^{−1} ∘ V ∘ π .

Insbesondere sind U und V isomorph zueinander.

c) Ist f ∈ ℚ[T] irreduzibel vom Grade n, so kommen als Galois–Gruppe von f nur transitive Untergruppen von S_{n} in Frage. Es ergibt sich also das \underline{Problem} , alle transitiven Untergruppen von S_{n} zu bestimmen.

\underline{(14.6) SATZ:} p sei eine Primzahl, und f ∈ ℚ[T] sei ein irreduzibles Polynom vom Grade p. f besitze in dem Zerfällungskörper Z = ZFK_{ℚ} (f) ⊆ ℂ genau 2 nichtreelle Nullstellen. Dann gilt

Gal_{ℚ} (f) ≅ S_{p} .

\underline{(14.7) BEISPIEL:} Die Galois–Gruppe des Polynoms T^{5} − 4T + 2 ∈ ℚ[T] ist isomorph zu S_{5} .

Zwei Probleme der Galois–Theorie

\underline{(14.8) PROBLEM} Gegeben sei ein irreduzibles Polynom f ∈ ℚ[T] vom Grade n. Bestimmt werden soll die Galoisgruppe G = Gal_{ℚ} (f) von f, d.h. die Galoisgruppe des Zerfällungskörpers von f über ℚ.

Jeder Automorphismus σ ∈ G permutiert die Nullstellen von f, so daß G zu einer transitiven Untergruppe U von S_{n} isomorph ist. Es gibt nun Verfahren, die ohne explizite Kenntnis der Nullstellen von f die richtige Untergruppe U herausfiltern können, zu der G isomorph ist. Ein Problem besteht nun darin, algorithmische Verfahren für die Bestimmung der Galoisgruppe zu entwickeln. So gibt es z.B. in dem Computeralgebra–System MAPLE die Prozedur “galois“, die die Galois–Gruppe eines irreduziblen Polynoms vom Grade ≤ 9 bestimmt.

\underline{(14.9) PROBLEM} Im Jahre 1892 hat David Hilbert (1862–1943) das sog. Umkehrproblem der Galois–Theorie gestellt:

G sei eine beliebige endliche Gruppe. Gibt es dann ein Polynom f ∈ ℚ[T] mit Gal_{ℚ} (f) ≅ G ?

Dieses Problem ist bis heute nicht gelöst worden, es gibt nur Teillösungen. So ist z.B. die Frage zu bejahen, wenn

G eine endliche abelsche Gruppe ist oder wenn

G eine endliche auflösbare Gruppe ist

(Letzteres hat Shafarevich im Jahre 1954 bewiesen).

Für spezielle Gruppen, etwa ZZ_{n} , A_{n} , S_{n} (n ∈ IN), ist das Umkehrproblem gelöst.