§ 13. Weitere Eigenschaften von Galois–Erweiterungen

In (12.6) hatten wir festgestellt, daß eine Galois–Erweiterung nur endlich viele Zwischenkörper besitzt. Wir wollen im folgenden zeigen, daß solche Körpererweiterungen einfach sind.

\underline{(13.1) LEMMA:} Ist K ein endlicher Körper, so ist jede endliche Körpererweiterung L : K einfach.

\underline{(13.2) LEMMA:} K sei ein unendlicher Körper und L : K eine Körpererweiterung . Es gebe Elemente α, β ∈ L mit L = K(α, β). Besitzt dann L : K nur endlich viele Zwischenkörper , so existiert ein a ∈ K mit L = K(α + aβ). Insbesondere ist L : K einfach.

\underline{(13.3) SATZ:} Besitzt eine endliche Körpererweiterung L : K nur endlich viele Zwischenkörper, so ist L : K einfach.

\underline{Bew:} Ist K endlich, so liefert (13.1) das Ergebnis, im anderen Falle basiert der Beweis auf (13.2) .

\underline{BEM:} In Aufgabe 52 wird sogar gezeigt, daß jede Körpererweiterung mit nur endlich vielen Zwischenkörpern schon eine endliche Körpererweiterung sein muß , so daß die Voraussetzung in (13.3), daß L : K endlich ist, entbehrlich ist.

\underline{(13.4) KOROLLAR:} Jede Galois–Erweiterung ist einfach.

\underline{Bew:} Eine Galois–Erweiterung ist nach Definition endlich und besitzt nach (12.6) nur endlich viele Zwischenkörper . •

Im folgenden wollen wir uns insbesondere überlegen, wie die Galois–Erweiterungen von ℚ aussehen. Dazu behandeln wir in erster Linie Körper der Charakteristik 0 . Als wichtig erweist sich in diesem Zusammenhang die Frage, ob ein irreduzibles Polynom mehrfache Nullstellen haben kann oder nicht. Diese Frage hatte sich schon bei der Aufgabe 47 gestellt.

\underline{(13.5) DEF:} Sei K ein Körper.

a) Ein Polynom f ∈ K[T] vom Grade ≥ 1 heißt separabel über K, wenn jeder irreduzible Faktor von f nur einfache Nullstellen in einem Zerfällungskörper besitzt.

b) K heißt vollkommen , wenn jedes nichtkonstante Polynom separabel über K ist.

Ein separables Polynom kann durchaus mehrfache Nullstellen haben. Das separable Polynom f = (T^{2} − 2)^{3} ∈ ℚ[T] hat die beiden dreifachen Nullstellen \sqrt{2} und −\sqrt{2} .

\underline{(13.6) LEMMA:} Jeder Körper der Charakteristik 0 ist vollkommen .

\underline{(13.7) BEM:} Man kann zeigen, daß auch jeder endliche Körper vollkommen ist. Dagegen sind unendliche Körper der Charakteristik p i.a. nicht vollkommen (s. Aufgabe 47).

\underline{(13.8) SATZ:} Sei K ein beliebiger Körper. Für eine Körpererweiterung L : K sind folgende Aussagen äquivalent:

a) L : K ist eine Galois–Erweiterung .

b) L ist der Zerfällungskörper eines separablen Polynoms aus K[T] .

\underline{(13.9) KOROLLAR:} Sei K ein vollkommener Körper. Dann sind für eine Körpererweiterung L : K folgende Aussagen äquivalent:

a) L : K ist eine Galois–Erweiterung

b) L ist Zerfällungskörper eines nichtkonstanten Polynoms aus K[T] .

Damit sind insbesondere Galois–Erweiterungen von ℚ Zerfällungskörper von nichtkonstanten Polynomen und umgekehrt.

\underline{(13.10) SATZ:} Sei K ein vollkommener Körper. Ist dann E : K eine endliche Körpererweiterung , so gibt es eine Galois–Erweiterung L : K mit E als Zwischenkörper .