Drei Beispiele zum Hauptsatz der GALOIS–Theorie

\underline{(12.8) BEISPIEL:} Seien α := e^{\frac{2πi}{5}} ∈ ℂ und L := ℚ(α) . Die Galois–Gruppe G := Gal(L : ℚ) wird in Aufgabe 38a berechnet. f := T^{4} + T^{3} + T^{2} + T + 1 ∈ ℚ[T] ist das Minimalpolynom von α über ℚ mit Null_{L}(f) = {α, α^{2}, α^{3}, α^{4}}. Daher besteht G nach (10.6) aus den 4 ℚ– Automorphismen σ_{1}, σ_{2}, σ_{3}, σ_{4} , die durch ihre Werte für α eindeutig festgelegt sind:

\begin{matrix}σ & σ(α) & ord(σ) \\ σ_{1} & α & 1 \\ σ_{2} & α^{2} & 4 \\ σ_{3} & α^{3} & 4 \\ σ_{4} & α^{4} & 2 \end{matrix}

Wegen [L : ℚ] = [ℚ(α) : ℚ] = grad(f) = 4 = |G| ist L : ℚ eine Galois–Erweiterung. Da G ein Element der Ordnung 4 enthält, ist G zyklisch und daher isomorph zu ℤ_{4}. Nach dem Satz von Lagrange kann eine Untergruppe U ≤ (G, ∘) nur die Ordnung 1,2 oder 4 haben (dies sind die positiven Teiler von 4).

\underline{|U| = 1} ⟹ U = \{σ_{1}\} (σ_{1} = id_{L} ist das neutrale Element in G).

\underline{|U| = 4} ⟹ U = G.

\underline{|U| = 2 ∈ IP} ⟹ U ist zyklisch und wird von einem Element der Ordnung 2 erzeugt. Da σ_{4} das einzige Element der Ordnung 2 ist, gibt es auch genau eine Untergruppe der Ordnung 2, nämlich U =< σ_{4} >= {σ_{1}, σ_{4}}.

Die Galois–Gruppe G besitzt also nur eine echte Untergruppe. Da L : ℚ eine Galois–Erweiterung ist, gibt es nach dem Hauptsatz der Galois–Theorie auch nur einen echten Zwischenkörper.

Untergruppenverband von G

G
|
< σ_{4} >
|
< σ_{1} >

Zwischenkörperverband von L : ℚ

L^{G} = ℚ
|
L^{<σ_{4}>} = ℚ(\sqrt{5}) ∗)
|
L^{<σ_{1}>} = L

\underline{Nachweis von *) :} Sei U :=< σ_{4} >. Aus (11.6a) folgt [L^{U} : ℚ] = \frac{[L : ℚ]}{|U|} = \frac{4}{2} = 2 . Nun ist

β := α + α^{4} =^{∗∗)} \frac{1}{2}(\sqrt{5} − 1) ∉ ℚ ein Fixelement von σ_{4}; denn

σ_{4}(β) = σ_{4}(α + α^{4}) = σ_{4}(α) + σ_{4}(α^{4}) = α^{4} + α = β .

Damit gilt β ∈ L^{U} und ℚ ⊂ ℚ(β) ⊆ L^{U} . Aus Gradgründen folgt L^{U} = ℚ(β). Außerdem gilt wegen **) ℚ(β) = Q(\sqrt{5}) . Folglich \underline{L^{U} = ℚ(\sqrt{5})} .

\underline{Nachweis von **) :} β = α + α^{4} = α + \overline{α} = 2 · Re(α) = 2 · cos (\frac{2π}{5} ) = 2 · \frac{1}{4}(\sqrt{5} − 1) (s.Aufg. 4) .

Da die Galois–Gruppe abelsch ist, ist nach (12.7) ℚ(\sqrt{5}) : ℚ eine Galois–Erweiterung , was natürlich hier einfacher aus Aufgabe 46 folgt.

\underline{(12.9) BEISPIEL:} Sei L := ℚ(\sqrt{3}, \sqrt{5}) . Nach Aufgabe 38b) gilt L = ℚ(α) mit α := \sqrt{3} + \sqrt{5} , und f := T^{4} − 16T^{2} + 4 ∈ ℚ[T] ist das Minimalpolynom von α/ℚ . Sei β := −\sqrt{3} + \sqrt{5}. Dann ist N = \{α, −α, β, −β\} die Nullstellenmenge von f in L, so daß nach (10.6) gilt |Gal(L : ℚ)| = 4 = [L : ℚ]. Folglich ist L : ℚ eine Galois–Erweiterung . Die 4 ℚ–Automorphismen σ_{1}, σ_{2}, σ_{3}, σ_{4} von L sind durch ihre Werte für α eindeutig festgelegt:

\begin{matrix}σ & σ(α) & σ(\sqrt{3}) & σ(\sqrt{5}) & ord(σ) \\ σ_{1} & α & \sqrt{3} & \sqrt{5} & 1 \\ σ_{2} & −α & −\sqrt{3} & −\sqrt{5} & 2 \\ σ_{3} & β & −\sqrt{3} & \sqrt{5} & 2 \\ σ_{4} & −β & \sqrt{3} & −\sqrt{5} & 2 \end{matrix}

Damit ist die Galois–GruppeG von L : ℚ bekannt. Außer den Untergruppen < σ_{1} > und G kann es nur noch Untergruppen der Ordnung 2 geben. Eine solche Untergruppe U ≤ G wird von einem Element der Ordnung 2 erzeugt (davon gibt es genau 3 Stück), und für sie gilt wieder

nach (11.6a) [L^{U} : ℚ] = \frac{[L : ℚ]}{|U|} = \frac{4}{2} = 2 .

Sei U =< σ_{2} >. Aus der Tabelle folgt: σ_{2}(\sqrt{15}) = σ_{2}(\sqrt{3} · \sqrt{5}) = (−\sqrt{3}) · (−\sqrt{5}) = \sqrt{15}, d.h. \sqrt{15} ∈ L^{U}. Aus Q ⊂ Q(\sqrt{15}) ⊆ L^{U} folgt dann \underline{L^{U} = Q(\sqrt{15})} . Entsprechend erhält man

\underline{L^{V} = Q(\sqrt{5})} für V :=< σ_{3} > und \underline{L^{W} = Q(\sqrt{3})} für W :=< σ_{4} >.

Da L : Q eine Galois–Erweiterung ist, sind dies auch die einzigen echten Zwischenkörper, da G genau 3 echte Untergruppen besitzt.

[figure: G; < σ_{2} >; < σ_{3} >; < σ_{4} >; < σ_{1} >; ℚ; ℚ(\sqrt{15}); ℚ(\sqrt{5}); ℚ(\sqrt{3}); L = ℚ(\sqrt{3}, \sqrt{5})]

Untergruppenverband von G Zwischenkörperverband von L : ℚ

Da die Galois–Gruppe abelsch ist, ist nach (12.7) E : ℚ für jeden Zwischenkörper E von L : ℚ eine Galois–Erweiterung , was natürlich hier wieder einfacher aus Aufgabe 46 folgt.

\underline{(12.10) BEISPIEL:} Sei L := ℚ(α, β) ⊆ ℂ mit α := ^{3} \sqrt{2} und β := i\sqrt{3}.

Die Galois–Gruppe von L : ℚ wurde bereits in den Übungen bestimmt. f := T^{3} − 2 ist das Minimalpolynom von α/ℚ und g := T^{2} + 3 das Minimalpolynom von β/ℚ. Damit gilt grad_{Q}(α) = 3 und grad_{Q}(β) = 2. Nach Aufgabe 29 ist dann

[L : Q] = 2 · 3 = 6

Die Galoisgruppe G := Gal(L : Q) hat dann höchstens 6 Elemente: \underline{|G| ≤ 6}. Definiere:

E := ℚ(α) und F := ℚ(β)

[figure: L; 6; E = ℚ(α); 2; 3; F = ℚ(β); 3; 2; ℚ]

Aus [E : Q] = 3 und [F : Q] = 2 folgt mit dem Gradsatz [L : E] = 2 und [L : F] = 3

Es ist L = E(β) . Das Polynom g = T^{2} + 3 ∈ E[T] hat β als Nullstelle und ist wegen [L : E] = 2 das Minimalpolynom von β/E.

Es ist L = F (α) . Das Polynom f = T^{3} − 2 ∈ F [T] hat α als Nullstelle und ist wegen [L : F] = 3 das Minimalpolynom von α/F.

Sei V := Gal(L : E) ≤ G . Da L = E(β) eine einfache Körpererweiterung von E ist, wird V durch die Nullstellen von g, die in L liegen, beschrieben. Diese sind β und −β. Also

V = Gal(L : E) = {id_{L}, τ}

Dabei ist τ : L ⟶ L ein E–Automorphismus von L mit τ(β) = −β. Insbesondere gilt τ(α) = α (da α ∈ E) , τ(a) = a ∀ a ∈ Q und ord(β) = 2.

Sei U := Gal(L : F) ≤ G . Da L = F (α) eine einfache Körpererweiterung von F ist, wird U durch die Nullstellen von f, die in L liegen, beschrieben. Mit ε := \frac{1}{2}(β − 1) ∈ L sind dies α, εα, ε^{2}α. Es gilt nämlich ε ∈ L , ε^{2} = \overline{ε} ∈ L und ε^{3} = 1 (d.h. ε ist eine dritte Einheitswurzel). Man rechnet nach: f(εα) = 0 und f(ε^{2}α) = 0. Folglich enthält U genau 3 Elemente:

U := Gal(L : F) = {id_{L}, σ_{1}, σ_{2}}

Dabei sind σ_{j} : L ⟶ L F –Automorphismen von L mit σ_{1}(α) = εα , σ_{2}(α) = ε^{2}α. Außerdem gilt σ_{j}(β) = β (da β ∈ F) und σ_{j}(a) = a ∀ a ∈ ℚ. Wegen |U| = 3 ist U zyklisch und jedes Element ≠ id_{L} hat die Ordnung 3, und es gilt σ_{2} = σ_{1}^{2}. Setze: \underline{σ := σ_{1}}.

V = ⟨τ⟩ ≤ G (ord(τ) = 2) , U = ⟨σ⟩ ≤ G (ord(σ) = 3)

Nach dem Satz von Lagrange sind 2 und 3 Teiler von |G|. Damit ist aber auch 6 = 2 · 3 ein Teiler von |G|, folglich \underline{6 ≤ |G|}. Mit der obigen entgegengesetzten Ungleichung ergibt sich

|Gal(L : ℚ)| = 6 = [L : ℚ]

Damit ist L : ℚ eine Galois–Erweiterung. Eine nichtabelsche Gruppe der Ordnung 6 ist isomorph zur symmetrischen Gruppe S_{3}, eine abelsche Gruppe der Ordnung 6 ist isomorph zur zyklischen Gruppe ZZ_{6} . Wir wollen uns nun überlegen, daß G nicht abelsch ist. Dazu berechnen wir:

τ(ε) = \frac{1}{2}(τ(β) − 1) = \frac{1}{2}(−β − 1) = \overline{ε} = ε^{2}. Es ergibt sich

(σ ∘ τ)(α) = σ(α) = εα , (τ ∘ σ)(α) = τ(εα) = τ(ε)τ(α) = ε^{2}α , d.h. \underline{σ ∘ τ ≠ τ ∘ σ}. Also:

G ≅ S_{3}

G = {id_{L}, σ, σ^{2}, τ, στ, σ^{2}τ}. Die Elemente σ und σ^{2} haben die Ordnung 3, τ, στ, σ^{2}τ die Ordnung 2. Echte Untergruppen von G sind von der Ordnung 2 oder 3 , sind also zyklisch und werden von einem Element der Ordnung 2 bzw. 3 erzeugt. Deshalb gibt es 3 Untergruppen der Ordnung 2 und eine Untergruppe der Ordnung 3, die 2 Elemente der Ordnung 3 enthalten muß . Der Untergruppenverband von G sieht damit folgendermaßen aus:

[figure: 6; G; 3; < σ >; 2; < τ >; < στ >; < σ^{2}τ >; 1; < id_{L} >]

Wir wollen nun alle Zwischenkörper von L : ℚ bestimmen. Da dies eine Galois–Erweiterung ist, müssen wir nur die Fixgruppen zu allen Untergruppen von G berechnen.

\underline{L^{G} = ℚ} und \underline{L^{⟨id_{L}⟩} = L} ist klar.

Für eine beliebige Untergruppe W ≤ G gilt nach (11.6a)

(⋆) [L^{W} : ℚ] = \frac{[L : ℚ]}{|W |} = \frac{6}{|W |}

\underline{U = ⟨σ⟩} [L^{U} : ℚ] = \frac{6}{3} = 2 , σ(β) = β ⟹ β ∈ Fix(σ) = L^{U} ⟹ F = ℚ(β) ⊆ L^{U}. Da

beide Körper den Grad 2 über ℚ haben, folgt \underline{L^{U} = ℚ(β) = F} .

\underline{V = ⟨τ⟩} Nach (⋆) gilt [L^{V} : ℚ] = 3. Wegen τ(α) = α ist E = ℚ(α) ⊆ L^{V} , woraus wieder aus Gradgründen die Gleichheit folgt: \underline{L^{V} = ℚ(α)} . Entsprechend begründet man:

\underline{L^{⟨στ⟩} = ℚ(ε^{2}α)} , da στ(ε^{2}α) = σ(εα) = ε^{2}α \underline{L^{⟨σ^{2}τ⟩} = ℚ(εα)} , da σ^{2}τ(εα) = εα Damit sind alle Zwischenkörper von L : ℚ bestimmt, und wir erhalten den folgenden Zwischenkörperverband von L : ℚ:

[figure: 1; ℚ; 2; ℚ(β); 3; ℚ(α); ℚ(εα); ℚ(ε^{2}α); 6; L]

oder konkreter:

[figure: 1; ℚ; 2; ℚ(i\sqrt{3}); 3; ℚ( ^{3} \sqrt{2}); ℚ((i\sqrt{3} − 1) ^{3} \sqrt{2}); ℚ((i\sqrt{3} + 1) ^{3} \sqrt{2}); 6; L = ℚ( ^{3} \sqrt{2} , i\sqrt{3})]

Zum Abschluß wollen wir auch hier wieder die Frage klären, welche Zwischenkörper Galois– Erweiterungen vom Grundkörper ℚ sind. Nach Teil II) des Hauptsatzes sind dies genau die Zwischenkörper E von L : ℚ, für die die Galois–Gruppe Gal(L : E) Normalteiler in G ist. Bekannt ist, daß U =< σ > der einzige nichttriviale Normalteiler von G ist. Da also

U = Gal(L : L^{U}) = Gal(L : ℚ(β))

Normalteiler in G ist, ist \underline{ℚ(β) : ℚ} eine Galois–Erweiterung . Dagegen sind die Zwischenkörper

ℚ(α) , ℚ(εα) , ℚ(ε^{2}α) ,

die alle den Grad 3 über ℚ haben, keine Galois–Erweiterungen von ℚ, da die zugehörigen Galois–Gruppen < τ > , < στ > , < σ^{2}τ > alle keine Normalteiler in G sind.