Beweis des Hauptsatzes der GALOIS–Theorie

Beweis von Teil I):

a) Gezeigt wird: η ∘ ε = id_{U} und ε ∘ η = id_{Z}

Für alle U ∈ U gilt: (η ∘ ε)(U) = Gal(L : L^{U}) =^{(11.5)} U = id_{U}(U) ⟹ η ∘ ε = id_{U}.

Für alle E ∈ Z gilt: (ε ∘ η)(E) = L^{Gal(L:E)} =^{(11.7)} E = id_{Z}(E) ⟹ ε ∘ η = id_{Z}.

\underline{b) “⟹“}

U ⊆ V ⟹ ε(V) = L^{V} ⊆ L^{U} = ε(U) ; denn

α ∈ L^{V} ⟹ σ(α) = α ∀ σ ∈ V ⟹ σ(α) = α ∀ σ ∈ U (U ⊆ V) ⟹ α ∈ L^{U}

\underline{c) “⟹“}

E ⊆ F ⟹ η(F) = Gal(L : F) ⊆ Gal(L : E) = η(E) ; denn

σ ∈ Gal(L : F) ⟹ σ ist ein F –Automorphismus von L. Wegen E ⊆ F ist dann aber σ auch ein E–Automorphismus von L, d.h. σ ∈ Gal(L : E)

\underline{b) “⟸“}

Gelte ε(V) ⊆ ε(U). Nach dem bereits geführten Teilbeweis von c) folgt η(ε(U)) ⊆ η(ε(V)). Mit a) ergibt sich U ⊆ V.

\underline{c) “⟸“}

Gelte η(F) ⊆ η(E). Nach dem bereits geführten Teilbeweis von b) folgt ε(η(E)) ⊆ ε(η(F)). Mit a) ergibt sich E ⊆ F. •

Beweis von Teil II):

a) Gilt nach (11.8a).

b) Sei H := Gal(L : E). Da L : K (nach Vor.) und L : E (nach a)) Galois–Erweiterungen sind, gilt

|G| = [L : K] und |H| = [L : E]

\underline{1) ⟹ 2)} Da E : K ein Galois–Erweiterung ist, gilt |Gal(E : K)| = [E : K] , woraus mit (11.9) folgt

(⋆) |Gal(E : K)| = |H_{K}(E, L)|

Es sei i := id_{L}|E : E ⟶ L die Einbettung. Für jedes σ ∈ Gal(E : K) ist dann i ∘ σ ∈ H_{K}(E, L) , d.h. durch die Zuordnung σ ⟼ i ∘ σ wird eine Abbildung

h : Gal(E : K) ⟶ H_{K}(E, L)

definiert. h ist injektiv; denn aus i ∘ σ = h(σ) = h(τ) = i ∘ τ folgt σ = τ. Wegen (⋆) ist dann h sogar bijektiv. Sei nun σ ∈ G beliebig. Dann besitzt σ|E ∈ H_{K}(E, L) ein Urbild τ ∈ Gal(E : K) unter h, d.h. es gilt σ|E = i ∘ τ. Folglich:

\underline{σ(E)} = i ∘ τ(E) = i(τ(E)) = i(E) = \underline{E}

\underline{2) ⟹ 1)} Es genügt, E^{Gal(E:K)} ⊆ K zu zeigen. Da die umgekehrte Inklusion klar ist, folgt dann die Gleichheit, so daß E : K nach (11.7) eine Galois–Erweiterung ist.

Sei \underline{α ∈ E^{Gal(E:K)}} ein beliebiges Element. Es soll α ∈ L^{G} gezeigt werden, woraus α ∈ K folgt, da L : K nach Voaraussetzung eine Galois–Erweiterung ist und somit L^{G} = K gilt. Sei σ ∈ G beliebig. Dann gilt σ(E) = E nach Voraussetzung, so daß σ einen K– Automorphismus σ′ ∈ Gal(E : K) mit σ′(β) = σ(β) (∀ β ∈ E) definiert. Es folgt α = σ′(α) = σ(α) , Also α ∈ L^{G}. •

Für den nächsten Beweis benötigen wir den folgenden Hilfssatz:

\underline{(12.4) HILFSSATZ:} L : K sei eine Galois–Erweiterung und E ein Zwischenkörper von L : K. Dann gilt für jedes σ ∈ G:

a) σ(E) ist ein Zwischenkörper von L : K b) Gal(L : σ(E)) = σ ∘ Gal(L : E) ∘ σ^{−1}.

\underline{Bew:} a) ist klar b) Für einen Automorphismus τ : L ⟶ L gilt: τ ∈ Gal(L : σ(E)) ⟺ τ ist ein σ(E)–Automorphismus von L ⟺ τ(σ(α)) = σ(α) (∀ α ∈ E) ⟺ (σ^{−1} ∘ τ ∘ σ)(α) = α (∀ α ∈ E) ⟺ σ^{−1} ∘ τ ∘ σ ∈ Gal(L : E) ⟺ τ ∈ σ ∘ Gal(L : E) ∘ σ^{−1} . •

\underline{2) ⟹ 3)} Klar ist Gal(L : E) ≤ G. Noch z.z. ∀ σ ∈ G : σ ∘ Gal(L : E) ∘ σ^{−1} = Gal(L : E). Sei σ ∈ G beliebig. Nach Voraussetzung gilt dann σ(E) = E. Mit (12.4b) ergibt sich dann

Gal(L : E) = Gal(L : σ(E)) =^{(12.4b)} σ ∘ Gal(L : E) ∘ σ^{−1}

\underline{3) ⟹ 2)} Z.z. Gal(L : E) Normalteiler in G ⟹ σ(E) = E (∀ σ ∈ G).

σ ∈ G ⟹ Gal(L : E ) =^{NT} σ ∘ Gal(L : E) ∘ σ^{−1} =^{(12.4b)} Gal(L : σ(E)). Mit Teil a) ergibt sich: η(E) = Gal(L : E) = Gal(L : σ(E)) = η(σ(E)) ⟹ E = σ(E) (da η injektiv ist). •

Wir kommen nun zum Beweis von c):

c) Nach Voraussetzung ist E : K eine Galois–Erweiterung , so daß nach b) \underline{σ(E) = E} ∀ σ ∈ G gilt. Damit definiert jedes σ ∈ G einen K–Automorphismus σ′ : E ⟶ E (α ⟼ σ(α)). Definiere eine Abbildung

ω : Gal(L : K) ⟶ Gal(E : K) , σ ⟼ σ′

\underline{ω ist ein Gruppenhomomorphismus:} ω(σ ∘ τ) = (σ ∘ τ)′ = σ′ ∘ τ′ = ω(σ) ∘ ω(τ) (∀ σ, τ ∈ G)

\underline{Kern(ω) = Gal(L : E)} σ ∈ G : σ ∈ Kern(ω) ⟺ σ′ = ω(σ) = id_{E} ⟺ σ(α) = α ∀ α ∈ E ⟺ σ ∈ Gal(L : E)

\underline{ω ist surjektiv} Sei U := Bild(ω) ≤ Gal(E : K) Z.z. U = Gal(E : K) Es genügt zu zeigen: E^{U} =^{!} E^{Gal(E:K)} = K (E : K ist eine Galois–Erweiterung !). Dann folgt aus Teil I,a) die Behauptung U = Gal(E : K), da die Abbildung ε injektiv ist. K ⊆ E^{U} ist klar. Sei umgekehrt α ∈ E^{U} beliebig. Dann gilt α ∈ E und \underline{τ(α) = α} ∀ τ ∈ U = Bild(ω). Z.z. α ∈ K. Da nach Voraussetzung L : K eine Galois–Erweiterung ist, gilt K = L^{G}. Wir wollen deshalb α ∈ L^{G} zeigen. Sei σ ∈ G beliebig. Dann folgt ω(σ) = σ′ ∈ Bild(ω) = U und daraus σ(α) = σ′(α) = α , also α ∈ L^{G} = K. Insgesamt gilt daher E^{U} = K.

Nach dem \underline{Homomorphiesatz für Gruppen} ist

ω^{⋆} : Gal(L : K)/Kern(ω) ⟶ Gal(E : K)
∥
Gal(L : K)/Gal(L : E)

ein Gruppenisomorphismus.

Damit ist der Hauptsatz der Galois–Theorie vollständig bewiesen. ••

Wir wollen noch einige Folgerungen aus dem Hauptsatz ziehen. Zunächst halten wir fest, was die Bijektivität von ε und η im einzelnen bedeutet:

\underline{(12.5) KOROLLAR:} L : K sei eine Galois–Erweiterung , G := Gal(L : K). Dann gilt:

a) Zu jedem Zwischenkörper E von L : K gibt es eine Untergruppe U ≤ G mit E = L^{U}.

b) Sind U, V ≤ G Untergruppen von G mit L^{U} = L^{V} , so folgt U = V

c) Zu jeder Untergruppe U ≤ G gibt es einen Zwischenkörper E von L : K mit U = Gal(L : E)

d) Sind E und F Zwischenkörper von L : K mit Gal(L : E) = Gal(L : F) , so folgt E = F.

\underline{(12.6) KOROLLAR:} Jede Galois–Erweiterung besitzt nur endlich viele Zwischenkörper.

\underline{Bew:} |Z| = |U| ≤ 2^{|G|} < ∞ (G ist endlich und U ⊆ P(G) , Potenzmenge von G). •

\underline{(12.7) KOROLLAR:} L : K sei eine Galois–Erweiterung , G := Gal(L : K). Ist dann jede Untergruppe von G auch Normalteiler von G, so ist die Körpererweiterung E : K für jeden Zwischenkörper E von L : K eine Galois–Erweiterung. Die Voraussetzung über die Untergruppen von G ist insbesondere dann erfüllt, wenn G eine abelsche Gruppe ist. Es gibt aber auch nichtabelsche Gruppen (z.B. die Quaternionengruppe Q), in denen jede Untergruppe Normalteiler ist.

\underline{Bew:} Folgt sofort aus (12.3) Teil II), b) . •