§11 Galois–Erweiterungen

\underline{(11.1) DEF:} Eine \underline{endliche} Körpererweiterung L : K heißt eine Galois–Erweiterung (GE), wenn gilt:

| Gal(L : K) | = [ L : K] .

Beispiele: C : IR ist eine Galois–Erweiterung (10.13b)

Q( ^{3} \sqrt{2}) : Q ist keine Galois–Erweiterung (10.13a)

Q(\sqrt{2}, \sqrt{3}) : Q ist eine Galois–Erweiterung (s. Aufgabe 38b) ) .

Ziel: Bei einer Galois–Erweiterung lassen sich alle Zwischenkörper mit Hilfe der Untergruppen der Galois–Gruppe bestimmen. Genauer: Es gibt eine bijektive Korrespondenz zwischen den Zwischenkörpern einer Galois–Erweiterung und den Untergruppen der Galois–Gruppe .

Sei L : K eine Körpererweiterung mit der Galois–Gruppe G := Gal(L : K) . Für jedes σ ∈ G ist dann Fix(σ) = {α | α ∈ L , σ(α) = α } ein Zwischenkörper von L : K (10.5b) . Für eine Untergruppe U ≤ G ist daher

L^{U} := ⋂_{σ∈U} Fix(σ) .

ein Zwischenkörper von L : K. Es ist

K ⊆ L^{U} = {α | α ∈ L , ∀ σ ∈ U : σ(α) = α } ⊆ L

d.h. jede Untergruppe U ≤ G liefert einen Zwischenkörper L^{U} von L : K.

Ist umgekehrt E ein Zwischenkörper von L : K, so ist

Gal(L : E) ≤ Gal(L : K) = G

eine Untergruppe von Gal(L : K) . Zusammenfassend gilt:

\underline{(11.2) SATZ:} L : K sei eine Körpererweiterung mit der Galois–Gruppe G := Gal(L : K) . Dann gilt:

a) Für jede Untergruppe U ≤ G ist L^{U} = {α | α ∈ L , ∀ σ ∈ U : σ(α) = α } ein Zwischenkörper von L : K, der sog. Fixkörper von U .

b) Für jeden Zwischenkörper E von L : K ist Gal(L : E) eine Untergruppe von G.

K ⊆ E ⊆ L  U ≤ G
↓  ↓
Gal(L : E) ≤ G  K ⊆ L^{U} ⊆ L

\underline{(11.3) LEMMA:} L sei ein Körper und U eine \underline{endliche} Untergruppe der Gruppe (Aut(L), ∘) aller Körperautomorphismen von L. Die Abbildung spur_{U} : L ⟶ L sei definiert durch

spur_{U}(α) := ∑_{σ∈U} σ(α) (∀ α ∈ L)

(spur_{U} heißt die Spur–Abbildung von L bzgl. U). Dann gilt:

a) ∀ α, β ∈ L : spur_{U}(α + β) = spur_{U}(α) + spur_{U}(β)

b) ∀ τ ∈ U : τ ∘ spur_{U} = spur_{U}.

c) spur_{U} ≠ 0 .

\underline{(11.4) SATZ:} L : K sei eine Körpererweiterung , und U ≤ Gal(L : K) sei eine \underline{endliche} Untergruppe. Dann gilt:

[L : L^{U}] = | U |

\underline{(11.5) KOROLLAR:} L : K sei eine endliche Körpererweiterung und U ≤ G := Gal(L : K) eine beliebige Untergruppe. Dann gilt:

a) L : L^{U} ist eine Galois–Erweiterung .

b) Gal(L : L^{U}) = U .

\underline{(11.6) KOROLLAR:} L : K sei eine endliche Körpererweiterung und G := Gal(L : K) die Galois–Gruppe. Dann gilt:

a) U ≤ G ⟹ [L : K] = |U| · [L^{U} : K]

b) [L : K] = |G| · [L^{G} : K] (d.h. insbesondere, daß |G| ein Teiler von [L : K] ist).

\underline{(11.7) SATZ:} L : K sei eine Körpererweiterung und G := Gal(L : K) die Galois–Gruppe . Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

a) L : K ist eine Galois–Erweiterung

b) L : K ist endlich, und es gilt L^{G} = K.

\underline{(11.8) SATZ:} L : K sei eine Körpererweiterung und E ein Zwischenkörper von L : K. Dann gilt:

a) Ist L : K eine Galois–Erweiterung , so ist auch L : E eine Galois–Erweiterung

b) Ist L : K eine Galois–Erweiterung , so ist E : K i.a. keine Galois–Erweiterung

c) Sind L : E und E : K Galois–Erweiterungen, so ist L : K i.a. keine Galois–Erweiterung .

\underline{(11.9) KOROLLAR:} L : K sei eine Galois–Erweiterung mit der Galois–Gruppe G, E ein Zwischenkörper von L : K und H := Gal(L : E) . Dann gilt

| H_{K}(E, L)| = [E : K] = (G : H) ,

wobei H_{K}(E, L) die Menge aller K–Homomorphismen von E in L bezeichnet und (G : H) den Index von H in G.