Kap. III Galois–Theorie

§10 Die Galois-Gruppe einer Körpererweiterung

\underline{(10.1) LEMMA:} L : K und L′ : K seien Körpererweiterungen. Für einen Körperhomomorphismus σ : L ⟶ L′ sind folgende Aussagen äquivalent:

a) σ ist K–linear b) σ(a) = a ∀ a ∈ K.

\underline{(10.2) DEF:} L : K und L′ : K seien Körpererweiterungen.

a) Ein Körperhomomorphismus σ : L ⟶ L′ heißt ein K–Homomorphismus, wenn σ(a) = a für alle a ∈ K gilt. Es bezeichne H_{K}(L, L′) die Menge aller K–Homomorphismen von L nach L′.

b) Ein bijektiver K–Homomorphismus σ : L ⟶ L heißt ein K–Automorphismus von L.

\underline{(10.3) SATZ:} L : K sei eine Körpererweiterung . Dann bildet die Menge

Gal(L : K) := {σ | σ : L ⟶ L K–Automorphismus}

aller K–Automorphismen von L eine Gruppe bzgl. der Hintereinanderausführung. (Gal(L : K), ∘) heißt die Galois–Gruppe von L : K.

\underline{(10.4) BEISPIELE:} a) Gal(Q( ^{3} \sqrt{2}) : Q) = \{id\}.

b) Gal(C : IR) = \{id, k\} (k : z ⟼ \overline{z}) .

\underline{(10.5) LEMMA:} L : K sei eine Körpererweiterung und σ ∈ Gal(L : K). Dann gilt:

a) Ist α ∈ L Nullstelle eines Polynoms f ∈ K[T], so ist auch σ(α) ∈ L eine Nullstelle von f .

b) Fix(σ) := {β | β ∈ L, σ(β) = β } ist ein Zwischenkörper von L : K, der sog. Fixkörper von σ.

\underline{(10.6) SATZ:} L : K sei eine endliche \underline{einfache} Körpererweiterung mit α als primitivem Element. m_{α} ∈ K[T] sei das Minimalpolynom von α über K, und N sei die Menge aller Nullstellen von m_{α}, \underline{die in L liegen}. Dann ist die Abbildung

ω : Gal(L : K) ⟶ N , σ ⟼ σ(α)

bijektiv.

\underline{(10.7) KOROLLAR:} L : K sei eine endliche \underline{einfache} Körpererweiterung . Dann gilt: |Gal(L : K)| ≤ [L : K] .

Ziel: Dieses Ergebnis gilt für alle endlichen Körpererweiterungen .

\underline{(10.8) KOROLLAR:} L : K sei eine endliche \underline{einfache} Körpererweiterung , L = K(α) . Dann gilt:

a) σ, τ ∈ Gal(L : K) : σ = τ ⟺ σ(α) = τ(α)

b) Zu je zwei Nullstellen β, γ ∈ L des Minimalpolynoms von α über K existiert genau ein K–Automorphismus σ ∈ Gal(L : K) mit σ(β) = γ.

\underline{(10.9) BEM:} Satz (10.6) liefert eine Methode zur Bestimmung der Galois–Gruppe einer \underline{endlichen} \underline{einfachen} Körpererweiterung L : K:

a) Bestimme ein primitives Element α von L : K (L = K(α) )

b) Bestimme das Minimalpolynom m_{α} von α über K (r := grad(m_{α}))

c) Bestimme alle Nullstellen α_{1} = α, α_{2}, …, α_{r} von m_{α} in L

d) Durch die Zuordnung α ⟼ α_{i} (i = 1, 2, …, r) sind alle K–Automorphismen von L eindeutig festgelegt

e) Für σ ∈ Gal(L : K) mit σ(α) = β ∈ {α_{1}, α_{2}, …, α_{r}} und x = ∑_{l=0}^{r−1} a_{l}α^{l} ∈ L (a_{l} ∈ K) gilt

σ(x) = σ (∑_{l=0}^{r−1} a_{l}α^{l}) = ∑_{l=0}^{r−1} σ(a_{l})σ(α)^{l} = ∑_{l=0}^{r−1} a_{l}β^{l}

(10.10) UNABHÄNGIGKEITSSATZ L und L′ seien Körper. Sind σ_{1}, …, σ_{n} paarweise verschiedene Körperhomomorphismen von L in L′, so ist {σ_{1}, …, σ_{n}} eine linear unabhängige Teilmenge des L′–Vektorraumes Abb(L, L′) .

\underline{(10.11) SATZ:} L und L′ seien Körper und σ_{1}, …, σ_{n} paarweise verschiedene Körperhomomorphismen von L in L′. Ferner sei

F := { α | α ∈ L , σ_{1}(α) = σ_{2}(α) = … = σ_{n}(α) } ⊆ L

Dann gilt: a) F ist ein Unterkörper von L b) [L : F] ≥ n.

\underline{(10.12) SATZ:} Ist L : K eine \underline{endliche} Körpererweiterung , so gilt |Gal(L : K)| ≤ [L : K] .

\underline{(10.13) BEISPIELE:} a) | Gal(Q( ^{3} \sqrt{2}) : Q) | = 1 < 3 = [Q( ^{3} \sqrt{2}) : Q] .

b) |Gal(C : IR)| = 2 = [C : IR] .

Wir werden im folgenden gerade solche Körpererweiterungen L : K genauer untersuchen, für die |Gal(L : K)| = [L : K] gilt. Dies sind die sog. Galois–Erweiterungen.