Chr.Nelius : Algebra (SS 2006) 1

Das n–te Kreisteilungspolynom Φ_{n}

Symmetrie der Koeffizienten von Φ_{n}

\underline{SATZ:} Ist Φ_{n} = ∑_{k=0}^{φ(n)}a_{k}T^{k} , so gilt a_{k} = a_{φ(n)−k} (∀ k) .

Größe der Koeffizienten von Φ_{n}

SATZ (Migotti, 1883)

Ist n ∈ � durch höchstens zwei ungerade Primzahlen teilbar, so liegen sämtliche Koeffizienten von Φ_{n} in {−1, 0, 1}.

SATZ (Schur, 1931)

Sei r eine gerade Zahl. p_{1}, p_{2}, …, p_{r+1} seien Primzahlen mit p_{1} < p_{2} < … < p_{r+1} und p_{r+1} < p_{1} + p_{2} . Ferner sei n := p_{1} · p_{2} · . . . · p_{r+1}. Dann ist −r der Koeffizient von T^{p_{r+1}} des n–ten Kreisteilungspolynoms Φ_{n}.

\underline{Beispiel:} r = 2 , p_{1} = 3, p_{2} = 5, p_{3} = 7 . 105 = 3 · 5 · 7 . p_{3} = 7 < 8 = 3 + 5 = p_{1} + p_{2} . Dann kommt T^{7} in Φ_{105} mit dem Koeffizienten −2 vor, und ebenso T^{48−7} = T^{41} .