Chr. Nelius: Algebra (SS 2006)

Lösung 36. Aufgabe

Vollständige Induktion nach n := grad(f) ≥ 1. Sei Z:=ZFK_{K}(f) . (IA) \underline{n = 1} In diesem Fall hat f genau eine Nullstelle in K, d.h. Z = K und [Z : K] = 1 ≤ 1! (IV) Sei n > 1 beliebig und die Behauptung richtig für alle Körper K′ und alle Polynome aus K′[T] vom Grade n − 1. Sei K ein beliebiger Körper, f ∈ K[T] ein Polynom vom Grade n und Z = ZFK_{K}(f). Sei α ∈ Z eine Nullstelle von f. Diese spaltet einen Linearfaktor von f ab:

f = (T − α) · g mit g ∈ K(α)[T] , grad(g) = n − 1

Da f über Z in Linearfaktoren zerfällt, gilt dies auch für g:

f = (T − α) · (T − α_{2}) · . . . · (T − α_{n}) = (T − α) · g ⟹ g = (T − α_{2}) · . . . · (T − α_{n}) . Wegen Z = K(α, α_{2}, …, α_{n}) = (K(α))(α_{2}, …, α_{n}) ist dann Z auch ein ZFK von g über K(α). Es gilt also

g ∈ K(α)[T] , grad(g) = n − 1 , Z = ZFK_{K(α)}(g) ,

so daß nach (IV)

[Z : K(α)] ≤ (n − 1)!

folgt. Da das Minimalpolynom m_{α} von α über K das Polynom f teilt, gilt

[K(α) : K] = grad(m_{α}) ≤ grad(f) = n .

Der Gradsatz liefert nun für Z ⊇ K(α) ⊇ K [Z : K] = [Z : K(α)] · [K(α) : K] ≤ (n − 1)! · n = n!