9. Übungsblatt

ALGEBRA (SS 2006)

Abgabe: Do. 8.6.2006, bis 13.00 Uhr

Fach Nr. 3 (orangener Schrank bei D1.348)

Internet: http://math-www.uni-paderborn.de/˜ chris Schreiben Sie bitte auf die erste Seite gut leserlich Namen, Vornamen, Matrikel–Nr. und Nr. Ihrer Übungsgruppe. Heften Sie bitte die Seiten zusammen! Es ist nur Einzelabgabe erlaubt.

37. Aufgabe: Seien α := ^{4} \sqrt{2} ∈ ℝ und L := ℚ(α) . Beweise, daß durch die Vorschrift σ(a_{0} + a_{1}α + a_{2}α^{2} + a_{3}α^{3}) := a_{0} − a_{1}α + a_{2}α^{2} − a_{3}α^{3} (a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3} ∈ ℚ)

eine Abbildung σ : L ⟶ L definiert wird, die ein ℚ–Automorphismus von L ist. (3)

38. Aufgabe: Sei L : K eine Körpererweiterung . Bestimme in den folgenden Fällen die Elemente von G := Gal(L : K) , die Ordnung und den Isomorphietyp von G und den Grad von L : K:

a) K = ℚ , L = ℚ(ε) mit ε := e^{\frac{2πi}{5}} ∈ ℂ

b) K = ℚ , L = ℚ(\sqrt{3}, \sqrt{5})

c) K = ℤ_{2} , L = ZFK_{ℤ_{2}} (T^{3} + T^{2} + 1) (s. Aufgabe 34)

d) K = ℚ , L = ℚ( ^{6} \sqrt{6}) . Bestimme hier außerdem für einen frei wählbaren ℚ–Automorphismus σ ∈ G \ \{id_{L}\} den Bildwert σ( ^{3} \sqrt{6} + 2\sqrt{6}) . (8)

39. Aufgabe: L : K und L′ : K seien Körpererweiterungen . ρ : L ⟶ L′ sei ein K–Isomorphismus, d.h. ein bijektiver, K–linearer Körperhomomorphismus. Beweise:

(Gal(L : K), ∘) ≅ (Gal(L′ : K), ∘) (Gruppenisomorphie) (2)

40. Aufgabe: L : K sei eine Körpererweiterung . Beweise:

a) Ist α ∈ L transzendent über K, so gilt K ⊂ K(α^{2}) ⊂ K(α) (hierbei bedeutet ⊂“ echte Inklusion).

b) Besitzt L : K keinen echten Zwischenkörper, so ist L : K einfach und endlich. (3)

41*. Aufgabe: Sei p ∈ IP und Z ⊆ ℂ der ZFK von f := T^{p} − 1 ∈ ℚ[T] .

a) Bestimme die Elemente von Z und den Grad [Z : ℚ] .

b) Bestimme die Elemente aus G := Gal(Z : ℚ) , die Ordnung und den Isomorphietyp von G. (3*)