8. Übungsblatt

ALGEBRA (SS 2006)

Abgabe: Do. 1.6.2006, bis 13.00 Uhr

Fach Nr. 3 (orangener Schrank bei D1.348)

Internet: http://math-www.uni-paderborn.de/˜ chris Schreiben Sie bitte auf die erste Seite gut leserlich Namen, Vornamen, Matrikel–Nr. und Nr. Ihrer Übungsgruppe. Heften Sie bitte die Seiten zusammen! Es ist nur Einzelabgabe erlaubt.

32. Aufgabe: K und L seien Körper, und es sei ρ : K[T] ⟶ L[T] ein Ringisomorphismus mit der Eigenschaft grad(g) = grad(ρ(g)) (∀ g ∈ K[T] \ {0}) . Ferner sei f ∈ K[T] ein beliebiges Polynom. Beweise:

f irreduzibel über K ⟺ ρ(f) irreduzibel über L . (3)

33. Aufgabe: Bestimme in den folgenden Fällen den ZFK Z des Polynoms f ∈ ℚ[T] und den Grad [Z : ℚ] :

a) f = T^{3} − 2 ∈ ℚ[T]

b) f = T^{5} − 1 ∈ ℚ[T]

c) f = T^{4} − 10T^{2} + 1 ∈ ℚ[T] . (6)

34. Aufgabe: Sei f = T^{3} + T^{2} + 1 ∈ ℤ_{2}[T] , und bezeichne Z den ZFK von f über ℤ_{2} . Beweise:

a) f ist irreduzibel über ℤ_{2}

b) f besitzt nur einfache Nullstellen in Z (dies ist ohne Kenntnis der Nullstellen zu begründen!)

c) Ist α ∈ Z eine beliebige Nullstelle von f , so gilt Z = ℤ_{2}(α) . Wie groß ist der Grad [Z : ℤ_{2}] ? (4)

35. Aufgabe: L : K sei eine Körpererweiterung, und das Element α ∈ L sei transzendent über K. Beweise, daß die folgenden Elemente aus L wieder transzendent über K sind:

a) a + α (a ∈ K) , bα (b ∈ K^{⋆})

b) α^{2} , α^{−1} . (3)

36*. Aufgabe: K sei ein Körper und f ∈ K[T] sei ein Polynom vom Grade n ≥ 1 . Beweise:

[ZFK_{K}(f) : K] ≤ n!

Hinweis: Induktion nach n. (3*)