7. Übungsblatt

ALGEBRA (SS 2006)

Abgabe: Fr. 26.5.2006, bis 13.00 Uhr

Fach Nr. 3 (orangener Schrank bei D1.348)

Internet: http://math-www.uni-paderborn.de/˜ chris Schreiben Sie bitte auf die erste Seite gut leserlich Namen, Vornamen, Matrikel–Nr. und Nr. Ihrer Übungsgruppe. Heften Sie bitte die Seiten zusammen! Es ist nur Einzelabgabe erlaubt.

27. Aufgabe: Sei M := \{0, 1, \frac{1}{5} + \frac{1}{3}i \} ⊆ ℂ.

a) Bestimme die Anzahl der Elemente aus F(M) .

b) Stelle K_{el}(M) zeichnerisch dar . (3)

28. Aufgabe: a) Sei M ⊆ ℂ mit 0, 1 ∈ M . Beweise, daß sich eine komplexe Zahl z ∈ ℂ genau dann mit Zirkel und Lineal aus M konstruieren läßt, wenn der Real– und der Imaginärteil von z mit Zirkel und Lineal aus M konstruierbar sind.

b) Untersuche, ob sich die Zahl z = ^{6} \sqrt{7} + i\sqrt{2} mit Zirkel und Lineal aus M := \{0, 1\} konstruieren läßt. (3)

29. Aufgabe: Sei L : K eine Körpererweiterung. Die Elemente α, β ∈ L seien algebraisch über K mit grad_{K}(α) = m und grad_{K}(β) = n. Beweise:

a) [K(α, β) : K] ≤ mn

b) ggT(m, n) = 1 ⟹ [K(α, β) : K] = mn

c) Gib ein konkretes Beispiel mit [K(α, β) : K] < mn an. (5)

30. Aufgabe: Für eine Körpererweiterung L : K bezeichne A_{K}(L) die Menge aller über K algebraischen Elemente aus L.

a) Beweise, daß A_{K}(L) ein Zwischenkörper von L : K ist.

b) Untersuche, ob die Körpererweiterung A_{K}(L) : K algebraisch ist.

c) Beweise, daß die Körpererweiterung A_{ℚ} (ℝ) : ℚ nicht endlich ist.

d) Leite aus c) her, daß ℝ : ℚ eine unendliche Körpererweiterung ist. (5)

31*. Aufgabe: R und S seien kommutative Ringe, I ⊆ R und J ⊆ S seien Ideale, und es bezeichnen ν_{I} : R ⟶ R/I und ν_{J} : S ⟶ S/J die natürlichen Ringhomomorphismen. Ferner sei f : R ⟶ S ein Ringhomomorphismus mit f(I) ⊆ J .

a) Beweise: Es gibt genau einen Ringhomomorphismus f^{⋆} : R/I ⟶ S/J mit der Eigenschaft f^{⋆}∘ν_{I} = ν_{J} ∘f .

b) Beweise: f surjektiv ⟹ f^{⋆} surjektiv.

c) Unter welchen Voraussetzungen ist f^{⋆} injektiv?

d) Was läßt sich in b) oder c) zu der Umkehrung sagen? (3*)