6. Übungsblatt

ALGEBRA (SS 2006) Abgabe: Do. 18.5.2006, bis 13.00 Uhr Fach Nr. 3 (orangener Schrank bei D1.348)

Internet: http://math-www.uni-paderborn.de/˜ chris Schreiben Sie bitte auf die erste Seite gut leserlich Namen, Vornamen, Matrikel–Nr. und Nr. Ihrer Übungsgruppe. Heften Sie bitte die Seiten zusammen! Es ist nur Einzelabgabe erlaubt.

22. Aufgabe: L : K sei eine Körpererweiterung . Beweise:

a) Sind M und N Teilmengen von L mit M ⊆ N , so folgt K(M) ⊆ K(N) .

b) Sind α_{1}, …, α_{n} Elemente aus L (n ≥ 2) , so folgt (K(α_{1}, …, α_{n−1}))(α_{n}) = K(α_{1}, …, α_{n−1}, α_{n}) . (2)

23. Aufgabe: a) Bestimme die Grade [ℚ(\sqrt{2}) : ℚ] und [ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{3}) : ℚ(\sqrt{2})] .

b) Sei α := \sqrt{2} + \sqrt{3} . Beweise: ℚ(α) = ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{3}) .

c) Bestimme das Minimalpolynom von α := \sqrt{2} + \sqrt{3} über ℚ. (6)

24. Aufgabe: Sei L : K eine Körpererweiterung und α ∈ L sei algebraisch über K. Im folgenden wird ein Verfahren zur Bestimmung des Inversen x^{−1} ∈ K[α] eines Elementes 0 ≠ x ∈ K[α] angegeben. Nach Vorasussetzung gibt es ein Polynom 0 ≠ f ∈ K[T] mit x = f(α) . Beweise:

a) Das Minimalpolynom m_{α} von α über K und das Polynom f sind teilerfremd, d.h. ein ggT ist assoziiert zum Einselement.

b) Es gibt Polynome s, t ∈ K[T] mit s · f + t · m_{α} = 1 .

c) Es gilt x^{−1} = s(α) . (4)

25. Aufgabe: Sei α := ^{3} \sqrt{2} ∈ ℝ. Berechne mit Hilfe des in Aufgabe 24 beschriebenen Verfahrens ohne Benutzung eines CA–Systems das Inverse von x := 1 + 2α + α^{2} ∈ ℚ[α] . x^{−1} ist als Element aus ℚ[α] darzustellen, und das Ergebnis ist zu verifizieren! (4)

26*. Aufgabe: Hier soll ein Spezialfall des Lemmas von Gauß (5.4) bewiesen werden.

Sei f = ∑_{ν=0}^{n} a_{ν}T^{ν} ∈ ℤ[T] \ {0}. Dann heißt I(f) := ggT(a_{0}, a_{1}, …, a_{n}) der Inhalt von f. Das Polynom f heißt primitiv , wenn I(f) = 1 gilt. Beweise:

a) Zu 0 ≠ f ∈ ℤ[T] gibt es ein primitives Polynom f^{⋆} ∈ ℤ[T] mit f = I(f) · f^{⋆}.

b) Ist f ∈ ℤ[T] primitiv, so gilt: f irreduzibel über ℚ ⟹ f irreduzibel über ℤ.

c) Sind die Polynome f, g ∈ ℤ[T] primitiv, so ist auch das Polynom f · g primitiv (Hinweis: Aufgabe 21* d) könnte hilfreich sein!) .

d) Ist 0 ≠ f ∈ ℤ[T] und gilt f = g · h mit g, h ∈ ℚ[T] , so gibt es primitive Polynome g^{⋆}, h^{⋆} ∈ ℤ[T] und c ∈ ℤ mit f = c · g^{⋆} · h^{⋆}.

e) Ist f ∈ ℤ[T] (grad(f) ≥ 1) irreduzibel über ℤ, so ist f auch irreduzibel über ℚ. (3*)