5. Übungsblatt

ALGEBRA (SS 2006) Abgabe: Do. 11.5.2006, bis 13.00 Uhr Fach Nr. 3 (orangener Schrank bei D1.348)

Internet: http://math-www.uni-paderborn.de/˜ chris Schreiben Sie bitte auf die erste Seite gut leserlich Namen, Vornamen, Matrikel–Nr. und Nr. Ihrer Übungsgruppe. Heften Sie bitte die Seiten zusammen! Es ist nur Einzelabgabe erlaubt.

19. Aufgabe: Untersuche die folgenden Polynome auf Irreduzibilität (natürlich mit ausreichenden Begründungen!):

a) f_{1} = 2T^{5} + 15T^{3} − 12T^{2} + 9T − 6 ∈ ℚ[T]

b) f_{2} = T^{5} + 5T^{4} − 3T^{3} + 2T^{2} + T − 6 ∈ ℚ[T]

c) f_{3} = T^{3} − T^{2} − 5T + 7 ∈ ZZ[T]

d) Beweise explizit, daß das Polynom f_{4} = T^{4} − 16T^{2} + 4 ∈ ZZ[T] keinen nichttrivialen Teiler aus ZZ[T] vom Grade 0,1 oder 2 besitzt. Ist f_{4} irreduzibel über ℚ? Ist f_{4} irreduzibel über ℝ ? (8)

20. Aufgabe: R und S seien kommutative Ringe ≠ 0 , und α : R ⟶ S sei ein Ringhomomorphismus . T sei eine Unbestimmte über R und U eine Unbestimmte über S. Die Abbildung \overline{α} : R[T] ⟶ S[U] sei definiert durch \overline{α}(f) := ∑_{i=0}^{m} α(r_{i})U^{i} für f = ∑_{i=0}^{m} r_{i}T^{i} ∈ R[T] . Beweise:

a) \overline{α} ist ein Ringhomomorphismus mit \overline{α}(r) = α(r) ∀ r ∈ R und \overline{α}(T) = U.

b) \overline{α} injektiv ⟺ α injektiv.

c) \overline{α} injektiv ⟹ grad(\overline{α}(f)) = grad(f) ∀ f ∈ R[T] \ \{0_{R}\}.

d) \overline{α} surjektiv ⟺ α surjektiv.

e) Sei f ∈ R[T] . Untersuche, ob die folgenden Implikationen immer gültig sind:

i) f irreduzibel (über R) ⟹ \overline{α}(f) irreduzibel (über S)

ii) \overline{α}(f) irreduzibel (über S) ⟹ f irreduzibel (über R) . (8)

21*. Aufgabe: R sei ein kommutativer Ring ≠ 0. Definition: Ein Ideal I ⊆ R heißt ein Primideal von R, wenn gilt:

i) I ≠ R und ii) ∀ a, b ∈ R : ab ∈ I ⟹ a ∈ I ∨ b ∈ I. Beweise:

a) Ein Ideal I ⊆ R ist genau dann ein Primideal, wenn der Faktorring R/I ein IB ist.

b) Sei n ∈ ℕ. Genau dann ist (n) ein Primideal in ℤ, wenn n eine Primzahl ist.

c) Jedes maximale Ideal ist ein Primideal. Untersuche, ob auch die Umkehrung gilt.

d) Für ein Ideal I ⊆ R bezeichne I[T] die Menge aller Polynome aus R[T] , deren Koeffizienten sämtlich in I liegen. Dann gilt:

1) I[T] ist ein Ideal in R[T]

2) Der Faktorring R[T]/I[T] ist isomorph zu dem Polynomring (R/I)[T] .

3) I ist genau dann ein Primideal in R, wenn I[T] ein Primideal in R[T] ist. (3*)