4. Übungsblatt

ALGEBRA (SS 2006) Abgabe: Do. 4.5.2006, bis 13.00 Uhr Fach Nr. 3 (orangener Schrank bei D1.348)

Internet: http://math-www.uni-paderborn.de/˜ chris Schreiben Sie bitte auf die erste Seite gut leserlich Namen, Vornamen, Matrikel–Nr. und Nr. Ihrer Übungsgruppe. Heften Sie bitte die Seiten zusammen! Es ist nur Einzelabgabe erlaubt.

14. Aufgabe: Beweise, daß ein endlicher Körper nicht algebraisch abgeschlossen sein kann. Hinweis: Lasse Dich von dem Beweis des Satzes von Euklid (“Es gibt unendlich viele Primzahlen”) inspirieren!

(2)

15. Aufgabe: Sei f ∈ ℝ[T] ein Polynom. Beweise:

a) ∀ z ∈ ℂ : \overline{f(z)} = f(\overline{z}).

b) Ist z ∈ ℂ \ ℝ eine Nullstelle von f, so ist auch \overline{z} eine Nullstelle von f, und es gibt Polynome g, h ∈ ℝ[T] mit f = gh und grad(g) = 2.

c) f ist genau dann irreduzibel über ℝ, wenn entweder 1) grad(f) = 1 gilt oder wenn

2) grad(f) = 2 gilt und f keine Nullstelle in ℝ hat . (5)

16. Aufgabe: a) Sei f = ∑_{μ=0}^{m} a_{μ}T^{μ} ∈ ℤ[T] ein Polynom vom Grade m und c = \frac{r}{s} ∈ ℚ (r, s ∈ ℤ,

s ≠ 0, ggT(r, s) = 1) eine rationale Nullstelle von f . Beweise:

i) r ist ein Teiler von a_{0} und s ein Teiler von a_{m}. ii) Ist darüberhinaus f normiert, so folgt c ∈ ℤ und c teilt a_{0}.

b) Bestimme die Zerlegung des Polynoms f := T^{10} − 2T^{8} − T^{9} + 2T^{7} − 3T^{6} + 6T^{4} + 3T^{5} − 6T^{3}

in ein Produkt von irreduziblen Polynomen über ℚ, ℝ bzw. ℂ (Hinweis: Erforderliche Polynomdivisionen (und nur diese) dürfen mit einem CA–System (wie MuPAD oder MAPLE) berechnet werden. Außerdem darf an keiner Stelle geraten werden!) (5)

17. Aufgabe: Es sei R ein IB und g ∈ R[T] . E_{g} : R[T] ⟶ R[T] bezeichnet den Einsetzungshomomorphismus (f ⟼ f(g)). Beweise:

a) E_{g} Ringisomorphismus ⟺ es gibt a, b ∈ R, a ∈ R^{⋆} mit g = aT + b.

b) Sei g = aT + b ∈ R[T] mit a ∈ R^{⋆}. Dann gilt für ein Polynom f ∈ R[T] :

f irreduzibel in R[T] ⟺ E_{g}(f) irreduzibel in R[T] (4)

18*. Aufgabe: Konstruiere einen Zerfällungskörper Z des Polynoms f := T^{2} + 1 über ℚ und gib dabei eine genaue Beschreibung der Elemente von Z. Was ist ein ZFK von f über ℝ bzw. über ℂ? (3*)