3. Übungsblatt

ALGEBRA (SS 2006) Abgabe: Do. 27.4.2006, bis 13.00 Uhr Fach Nr. 3 (orangener Schrank bei D1.348)

Internet: http://math-www.uni-paderborn.de/˜ chris Schreiben Sie bitte auf die erste Seite gut leserlich Namen, Vornamen, Matrikel–Nr. und Nr. Ihrer Übungsgruppe. Heften Sie bitte die Seiten zusammen! Es können Bonuspunkte für die Übungsschein–Klausur erworben werden. Es ist nur Einzelabgabe erlaubt.

Definition: R sei ein kommutativer Ring. Ein Ideal I von R heißt maximal, wenn gilt:

i) I ≠ R und ii) Für jedes Ideal J ⊆ R mit I ⊆ J ⊆ R folgt J = I oder J = R.

9. Aufgabe: a) Sei p ∈ IP eine Primzahl. Beweise, daß das Ideal (p) = ℤp = {kp|k ∈ ℤ} ein maximales Ideal in ℤ ist.

b) K sei ein Körper und R := K[T] der Polynomring in einer Unbestimmten über K (wir wissen, daß K[T] ein Hauptidealbereich ist!) . Ferner sei f ∈ R ein irreduzibles Polynom. Beweise, daß das Ideal (f) = Rf = {gf|g ∈ R} ein maximales Ideal in R ist. (4)

10. Aufgabe: R sei ein kommutativer Ring und I ⊆ R ein Ideal. Beweise:

a) I ist genau dann ein maximales Ideal, wenn gilt: I ≠ R und zu jedem x ∈ R \ I gibt es y ∈ R und a ∈ I mit 1 = xy + a.

b) I ist genau dann ein maximales Ideal, wenn der Faktorring R/I ein Körper ist.

c) Das Nullideal 0 ist genau dann ein maximales Ideal in R ist, wenn R ein Körper ist. (5)

11. Aufgabe: Es sei R ein kommutativer Ring. Ohne Beweis darf benutzt werden, daß für a, b ∈ R und n ∈ IN

die binomische Formel (a + b)^{n} = ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k}a^{n−k} b^{k}

gilt (man mache sich diese Formel einmal für n = 2 und n = 3 klar!) . Beweise:

a) Ist p eine Primzahl, so ist p ein Teiler von \binom{p}{k} für alle k = 1, 2, …, p − 1.

b) Ist K ein Körper der Charakteristik p (Primzahl), so gilt:

1) (a + b)^{p} = a^{p} + b^{p} für alle a, b ∈ K.

2) Die Abbildung φ_{K} : K ⟶ K , a ⟼ a^{p} , ist ein injektiver Körperhomomorphismus.

3) Ist K endlich, so ist φ_{K} ein Körperisomorphismus. (4)

12. Aufgabe: a) Beweise, daß jeder Körper der Charakteristik 0 unendlich ist.

b) Beweise, daß jeder endliche Körper eine Primzahl als Charakteristik hat.

c) Finde einen unendlichen Körper, dessen Charakteristik eine Primzahl p ist. (3)

Eine sehr schöne Sonderaufgabe steht noch auf der nächsten Seite!

13*. Aufgabe: Beweise, daß das Ideal N der Nullfolgen in dem kommutativen Ring CF aller Cauchy– Folgen rationaler Zahlen ein maximales Ideal ist (vgl. Satz (2.14). Nach Aufgabe 10b) ist dann der Faktorring ℝ = CF/N ein Körper!) . Der Beweis ist nicht ganz einfach, daher folgt eine Anleitung:

Klar ist N ≠ CF . Sei J ⊆ CF ein Ideal mit N ⊆ J ⊆ CF . Zu zeigen ist J = N oder J = CF .

Setzen wir J ≠ N voraus, so müssen wir J = CF zeigen. Es gibt dann also eine Folge (a_{n}) ∈ J \ N . Definiere jetzt mit Hilfe dieser Folge (a_{n}) eine neue Folge (b_{n}) durch die Vorschrift

b_{n} := \{ \begin{matrix}0 & falls a_{n} ≠ 0 \\ \frac{1}{n} & falls a_{n} = 0 \end{matrix}

Beweise nun die folgenden Aussagen:

1) (b_{n}) ∈ N

2) a_{n} + b_{n} ≠ 0 (∀ n ∈ ℕ)

3) (a_{n} + b_{n}) ∈ CF \ N

4) Es gibt ein δ ∈ ℚ , δ > 0 mit der Eigenschaft |a_{n} + b_{n}| > δ (∀ n ∈ ℕ)

5) Durch c_{n} := \frac{1}{a_{n} + b_{n}} (∀ n ∈ ℕ) wird eine Cauchy–Folge (c_{n}) ∈ CF definiert.

Ist nun (x_{n}) eine beliebige Cauchy–Folge aus CF , so beweise man

(x_{n}) = (a_{n} + b_{n}) · (c_{n}) · (x_{n}) ∈ J

Damit ist dann J = CF bewiesen!!! (3*)