2. Übungsblatt

ALGEBRA (SS 2006)

Abgabe: Do. 20.4.2006, bis 13.00 Uhr

Fach Nr. 3 (orangener Schrank bei D1.348)

Internet: http://math-www.uni-paderborn.de/˜ chris

Schreiben Sie bitte auf die erste Seite gut leserlich Namen, Vornamen, Matrikel–Nr. und Nr. Ihrer Übungsgruppe. Heften Sie bitte die Seiten zusammen!

Es können Bonuspunkte für die Übungsschein–Klausur erworben werden. Es ist nur Einzelabgabe erlaubt.

5. Aufgabe: a) R sei ein nullteilerfreier Ring. Beweise, daß in R die folgende Kürzungsregel für die Multiplikation gilt: x, y, z ∈ R : xy = xz und x ≠ 0 ⟹ y = z.

b) Beweise, daß sich jede rationale Zahl x ∈ ℚ eindeutig in der Form x = \frac{a}{b} mit a, b ∈ ℤ, b > 0 und ggT(a, b) = 1 darstellen läßt.

c) Sei K ein Körper (K ist dann insbesondere ein IB). Bestimme den Quotientenkörper von K.

d) Bestimme den Quotientenkörper eines endlichen IB’s R. (4)

6. Aufgabe: Beweise:

a) Die Relation ρ aus Lemma (2.7) ist eine Äquivalenzrelation auf ℤ × (ℤ \ {0}) .

b) Die in (2.9a) definierte Addition auf ℚ ist wohldefiniert.

c) Die in (2.9b) definierte Relation auf ℚ ist wohldefiniert, eine lineare Ordnungsrelation auf ℚ und ist mit der Multiplikation auf ℚ verträglich. (8)

7. Aufgabe: a) Sei R eine Äquivalenzrelation auf einer Menge M . Beweise, daß eine Teilmenge V ⊆ M genau dann ein vollständiges Repräsentantensystem für die Quotientenmenge M/R ist, wenn gilt: i) ∀ x ∈ M ∃ v ∈ V : xRv und ii) ∀ v, v′ ∈ V : vRv′ ⟹ v = v′.

b) Sei S die Äquivalenzrelation der Äquivalenz auf der Menge M_{m,n}(K) der (m × n)-Matrizen über einem Körper K. Bestimme ein vollständiges Repräsentantensystem für die Quotientenmenge M_{m,n}(K)/S.

c) Sei ∼ die Äquivalenzrelation der Gleichmächtigkeit auf der Potenzmenge P(ℕ). Bestimme ein vollständiges Repräsentantensystem für die Quotientenmenge P(ℕ)/ ∼. (4)

8*. Aufgabe: Sei R ein IB und K = Q(R) der Quotientenkörper von R mit der Einbettung α : R ⟶ K (s. (2.12)) . Beweise:

a) Zu jedem Körper L und jedem injektiven Ringhomomorphismus f : R ⟶ L gibt es genau einen Körperhomomorphismus f^{⋆} : K ⟶ L mit der Eigenschaft f^{⋆} ∘ α = f .

b) Ist K′ ein Körper und α′ : R ⟶ K′ ein injektiver Ringhomomorphismus, der die entsprechende Eigenschaft aus a) wie α besitzt, so gibt es einen Körperisomorphismus β : K ⟶ K′ mit β ∘ α = α′. (3*)

Frohe Ostern!