14. Übungsblatt

ALGEBRA (SS 2006)

Freiwillig, aber sehr ans Herz gelegt!

Internet: http://math-www.uni-paderborn.de/˜ chris

63. Aufgabe: Seien m, n ∈ ℕ. Beweise:

a) Ist das regelmäßige n–Eck konstruierbar, so ist auch das regelmäßige (2^{k}n)–Eck für jedes k ∈ IN kontruierbar .

b) Ist das regelmäßige 2n–Eck konstruierbar, so ist auch das regelmäßige n–Eck kontruierbar .

c) Sind das regelmäßige m–Eck und das regelmäßige n–Eck konstruierbar und gilt ggT(m, n) = 1, so ist auch das regelmäßige (mn)–Eck konstruierbar.

d) Ist n von der Form n = 2^{k}·p_{1}·. . . p_{r} (k ≥ 0, r ≥ 0) , wobei p_{1}, …, p_{r} paarweise verschiedene Fermat’sche Primzahlen sind, so ist das das regelmäßige n–Eck konstruierbar (hierbei sollen (16.6) und (16.7) nicht benutzt werden!) .

64. Aufgabe: G sei eine Gruppe. Beweise:

a) Ist U eine Untergruppe von G mit G′ ⊆ U , so ist U Normalteiler in G (insbesondere ist G′ Normalteiler in G) .

b) Ist N Normalteiler in G, so ist die Faktorgruppe G/N genau dann abelsch, wenn G′ ⊆ N gilt (insbesondere ist G/G′ abelsch) .

65. Aufgabe: G sei eine auflösbare Gruppe. Beweise, daß dann auch jede Untergruppe und jede Faktorgruppe von G auflösbar sind.

66. Aufgabe: Sei G eine Gruppe mit dem neutralen Element e. Beweise die Äquivalenz der folgenden Aussagen:

a) G ist auflösbar

b) Es existiert ein n ∈ ℕ mit G^{(n)} = {e}.

67. Aufgabe: Beweise: S_{n} ist genau dann auflösbar, wenn n ≤ 4 gilt . Hinweis: In den Übungen wurde bewiesen: S′_{n} = A_{n} für n ≥ 5 und A′_{n} = A_{n} für n ≥ 2 .

68. Aufgabe: G sei eine \underline{endliche} Gruppe. Beweise, daß G genau dann auflösbar ist, wenn es in G eine Normalreihe mit \underline{zyklischen} Faktoren gibt.

69. Aufgabe: a) Berechne das 12–te Kreisteilungspolynom Φ_{12} zum einen nach der Definition (16.7) und zum anderen mit Hilfe von Lemma (16.9) .

b) Beweise direkt, daß Φ_{12} irreduzibel über ℚ ist.