13. Übungsblatt

ALGEBRA (SS 2006)

Abgabe: Do. 6.7.2006, bis 13.00 Uhr

Fach Nr. 3 (orangener Schrank bei D1.348)

Internet: http://math-www.uni-paderborn.de/˜ chris

Schreiben Sie bitte auf die erste Seite gut leserlich Namen, Vornamen, Matrikel–Nr. und Nr. Ihrer Übungsgruppe. Heften Sie bitte die Seiten zusammen! Es ist nur Einzelabgabe erlaubt.

58. Aufgabe: G sei eine endliche Gruppe. Beweise:

a) Für a ∈ G sei die Abbildung L_{a} : G ⟶ G definiert durch L_{a}(x) = ax (∀ x ∈ G) . Dann wird durch die Vorschrift a ⟼ L_{a} (a ∈ G) eine Abbildung χ : G ⟶ S_{G} definiert, die ein injektiver Gruppenhomomorphismus ist.

b) Ist |G| = n, so ist G isomorph zu einer Untergruppe der symmetrischen Gruppe S_{n}. (3)

59. Aufgabe: Sei G eine endliche Gruppe. Beweise, daß es eine Galois–Erweiterung L : K gibt mit ℂ ⊇ L ⊇ K ⊇ ℚ und Gal(L : K) ≅ G. (2)

60. Aufgabe: f = T^{3} + aT^{2} + bT + c ∈ ℚ[T] sei ein irreduzibles Polynom 3–ten Grades mit den Nullstellen α_{1}, α_{2}, α_{3} ∈ ℂ. Ferner sei Z := ℚ(α_{1}, α_{2}, α_{3}) der Zerfällungskörper von f über ℚ. Die Galois–Gruppe G von f über ℚ werde als Untergruppe von S_{3} aufgefaßt . Definiere

d_{f} := (α_{1} − α_{2})(α_{1} − α_{3})(α_{2} − α_{3}) ∈ ℂ .

Beweise: a) G = A_{3} oder G = S_{3}

b) Für σ ∈ G gilt: σ(d_{f}) = d_{f} ⟺ σ ist eine gerade Permutation, und σ(d_{f}) = −d_{f} ⟺ σ ist eine ungerade Permutation.

c) Gal(Z : ℚ(d_{f})) = G ∩ A_{3} d) G ⊆ A_{3} ⟺ d_{f}^{2} ∈ ℚ^{2} := { a^{2} | a ∈ ℚ }

e) Für g := f(T − \frac{a}{3}) ∈ ℚ[T] gilt:

1) Es gibt p, q ∈ ℚ mit g = T^{3} + pT + q

2) f und g haben denselben Zerfällungskörper über ℚ 3) g ist irreduzibel über ℚ

4) d_{f}^{2} = −4p^{3} − 27q^{2} (hier ist wirklich d_{f} gemeint!)

f) Bestimme mit den obigen Überlegungen die Galois–Gruppen von h_{1} = T^{3} − 3T + 1 und h_{2} = T^{3} + 3T^{2} − T − 1 über ℚ. (8)

61. Aufgabe: L : K sei ein Körpererweiterung , und E sei ein Zwischenkörper von L : K. Beweise:

a) Sind L : E und E : K Radikalerweiterungen, so ist auch L : K eine Radikalerweiterung .

b) Ist L : K eine Radikalerweiterung, so ist auch L : E eine Radikalerweiterung .

c) Untersuche, ob jede Galois–Erweiterung eine Radikalerweiterung ist. Gilt die Umkehrung? (3)

62*. Aufgabe: Konstruiere ein Polynom f ∈ ℚ[T] mit Gal_{ℚ} (f) ≅ S_{7} . Der Konstruktionsprozeß ist zu beschreiben und die Antwort ist zu begründen. (3*)