12. Übungsblatt

ALGEBRA (SS 2006)

Abgabe: Do. 29.6.2006, bis 13.00 Uhr

Fach Nr. 3 (orangener Schrank bei D1.348)

Internet: http://math-www.uni-paderborn.de/˜ chris

Schreiben Sie bitte auf die erste Seite gut leserlich Namen, Vornamen, Matrikel–Nr. und Nr.

Ihrer Übungsgruppe. Heften Sie bitte die Seiten zusammen! Es ist nur Einzelabgabe erlaubt.

53. Aufgabe: Seien f ∈ K[T] und L := ZFK_{K}(f) . Ferner sei E ein Zwischenkörper von L : K. Beweise:

a) L = ZFK_{E}(f)

b) Jeder K–Homomorphismus σ : E ⟶ L läßt sich zu einem K–Automorphismus von L fortsetzen, d.h. es gibt einen K–Automorphismus ρ : L ⟶ L mit ρ|E = σ. (4)

54. Aufgabe: Sei K ein vollkommener Körper und L : K eine \underline{endliche} Körpererweiterung . Beweise, daß L : K einfach ist. (Erst nach der Vorlesung am Montag machbar!) (2)

55. Aufgabe: a) Sei f ∈ ℚ[T] ein irreduzibles Polynom mit Z := ZFK_{ℚ} (f) ⊆ ℂ. Ferner gelte Gal(Z : ℚ) ≅ A_{3} . Beweise, daß f drei einfache reelle Nullstellen besitzt.

b) Wie läßt sich a) verallgemeinern? Beweis? (4)

56. Aufgabe: Seien f = T^{3} − 3T + 1 ∈ ℚ[T] und Z := ZFK_{ℚ} (f) ⊆ ℂ.

a) Ist Z : ℚ eine Galois–Erweiterung ?

b) Beweise, daß α_{1} := 2 cos(\frac{2π}{9}) eine Nullstelle von f ist.

c) Berechne die beiden übrigen Nullstellen α_{2}, α_{3} von f und stelle sie in möglichst einfacher Form dar.

d) Bestimme den Grad [Z : ℚ] und die Galois–Gruppe G := Gal(Z : ℚ)

e) Bestimme alle Zwischenkörper von Z : ℚ. Muß man hierfür überhaupt den Hauptsatz der Galois–Theorie bemühen? (6)

57*. Aufgabe: a) Sei K ein Körper und f ∈ K[T] ein normiertes Polynom. Beweise, daß f nur endlich viele normierte Teiler besitzt.

b) Sei L : K eine endliche einfache Körpererweiterung , und α ∈ L sei ein primitives Element von L : K. Beweise:

1) Ist E ein beliebiger Zwischenkörper von L : K, so gilt E = K(M) , wobei M die Menge der Koeffizienten des Minimalpolynoms von α über E ist.

2) L : K besitzt nur endlich viele Zwischenkörper . (3*)