11. Übungsblatt

ALGEBRA (SS 2006)

Abgabe: Do. 22.6.2006, bis 13.00 Uhr

Fach Nr. 3 (orangener Schrank bei D1.348)

Internet: http://math-www.uni-paderborn.de/˜ chris

Schreiben Sie bitte auf die erste Seite gut leserlich Namen, Vornamen, Matrikel–Nr. und Nr.

Ihrer Übungsgruppe. Heften Sie bitte die Seiten zusammen! Es ist nur Einzelabgabe erlaubt.

48. Aufgabe: Seien α := e^{\frac{2πi}{7}} ∈ ℂ , L := ℚ(α) und G := Gal(L : ℚ).

a) Beweise, daß L : ℚ eine Galois–Erweiterung ist.

b) Bestimme die Ordnung eines jeden Elementes aus G. Was für eine Gruppe ist G?

c) Bestimme alle Untergruppen von G.

d) Bestimme alle Zwischenkörper von L : ℚ .

e) Für welche Zwischenkörper E von L : ℚ ist E : ℚ wieder eine Galois–Erweiterung? (7)

49. Aufgabe: Sei L : K eine Galois–Erweiterung , G := Gal(L : K) und α ∈ L. Ferner sei M := {σ(α)|σ ∈ G} =: {α_{1}, α_{2}, …, α_{m}} ⊆ L. Beweise:

a) ∀ τ ∈ G : τ(M) = M.

b) f := (T − α_{1}) · (T − α_{2}) · . . . · (T − α_{m}) ∈ L[T] ist das Minimalpolynom von α über K. Hinweis: Es ist insbesondere f ∈ K[T] zu zeigen. Benutze dazu Aufgabe 43. (4)

50. Aufgabe: L : K sei eine Galois–Erweiterung vom Grade n, deren Galois–Gruppe zyklisch sei. Beweise: Zu jedem positivem Teiler t von n gibt es genau einen Zwischenkörper E von L : K mit [E : K] = t, und es gibt keine weiteren Zwischenkörper von L : K. (3)

51. Aufgabe: L : K sei eine Galois–Erweiterung mit der Galois–Gruppe G.

a) Untersuche im Falle G ≅ A_{4} , ob L : K einen Zwischenkörper E mit [E : K] = 2 besitzt .

b) Untersuche im Falle G ≅ S_{4} , ob L : K eine Zwischenkörper F mit [F : K] = 3 besitzt, so daß F : K eine Galois–Erweiterung ist. (2) Hinweis: Die Untergruppenverbände von A_{4} und S_{4} findet man auf der Internetseite meiner Vorlesung “Grundzüge der Algebra” (WS 2005/06) . Diese dürfen hier ohne Beweis benutzt werden.

52*. Aufgabe: Die Körpererweiterung L : K besitze nur endlich viele Zwischenkörper. Beweise:

a) L : K ist algebraisch  b) L : K ist endlich .  (3*)