10. Übungsblatt

ALGEBRA (SS 2006)

Abgabe: Fr. 16.6.2006, bis 13.00 Uhr

Fach Nr. 3 (orangener Schrank bei D1.348)

Internet: http://math-www.uni-paderborn.de/˜ chris

Schreiben Sie bitte auf die erste Seite gut leserlich Namen, Vornamen, Matrikel–Nr. und Nr.

Ihrer Übungsgruppe. Heften Sie bitte die Seiten zusammen! Es ist nur Einzelabgabe erlaubt.

42. Aufgabe: L : K sei eine Körpererweiterung, α, β ∈ L seien algebraisch über K und es gelte L = K(α, β) . Ferner seien ρ, σ ∈ Gal(L : K) . Beweise:

ρ = σ ⟺ ( ρ(α) = σ(α) und ρ(β) = σ(β) ) .

(3)

43. Aufgabe: L : K sei eine Körpererweiterung, G := Gal(L : K), U ≤ G eine Untergruppe von G und f ∈ L[T] . Beweise:

f ∈ L^{U}[T] ⟺ ∀ σ ∈ U : \overline{σ}(f) = f .

(2)

44. Aufgabe: L : K sei eine endliche Körpererweiterung, U ≤ Gal(L : K) eine Untergruppe und spur_{U} : L ⟶ L die zu U gehörige Spurabbildung (s. (11.3) ) . Beweise:

a) spur_{U} ist eine L^{U}–lineare Abbildung b) Bild(spur_{U}) = L^{U}

c) Ist {α_{1}, …, α_{n}} eine Basis des K–Vektorraumes L, so gilt

L^{U} = K( spur_{U}(α_{1}), …, spur_{U}(α_{n}) ) .

(5)

45. Aufgabe: Sei L := ℚ(\sqrt{3}, \sqrt{5}) und G := Gal(L : ℚ) . Nach Aufgabe 38b) gilt |G| = 4 = [L : ℚ] , und es gibt einen ℚ–Automorphismus σ von L mit σ(\sqrt{3}) = −\sqrt{3} und σ(\sqrt{5}) = \sqrt{5} . Sei U := ⟨σ⟩ die von σ erzeugte zyklische Untergruppe von G. Bestimme den Fixkörper L^{U} von U mit Hilfe von Aufgabe 44c) . (3)

46. Aufgabe: L : K sei eine Körpererweiterung vom Grade 2, und es gelte char(K) ≠ 2 . Beweise, daß L : K eine Galois–Erweiterung ist. Wo geht die Voraussetzung char(K) ≠ 2 ein?

(3)

47*. Aufgabe: Untersuche, ob eine Körpererweiterung vom Grade 2 auch im Falle der Charakteristik 2 eine Galois–Erweiterung sein muß. (3*)