1. Übungsblatt

ALGEBRA (SS 2006)

Abgabe: Do. 13.4.2006, bis 13.00 Uhr

Fach Nr. 3 (orangener Schrank bei D1.348)

Internet: http://math-www.uni-paderborn.de/˜ chris

Schreiben Sie bitte auf die erste Seite gut leserlich Namen, Vornamen, Matrikel–Nr. und Nr. Ihrer Übungsgruppe. Heften Sie bitte die Seiten zusammen!

Es können Bonuspunkte für die Übungsschein–Klausur erworben werden. Es ist nur Einzelabgabe erlaubt.

1. Aufgabe: In der Ebene sei ein rechtwinkliges Koordinatensystem mit Ursprung O = (0, 0) vorgegeben. Es bezeichne A den Punkt (1, 0) , B den Punkt (−1, 0) und C den Punkt (0, 1) .

a) Führe die folgende Konstruktion mit Zirkel und Lineal aus:

1) Schlage um O den Kreis mit dem Radius 1 (Einheitskreis)

2) Konstruiere den Mittelpunkt D der Strecke BO

3) Schlage um D den Kreis mit dem Abstand der Punkte C und D als Radius. Dieser Kreis schneide die positive x–Achse im Punkte E.

4) Konstruiere die Mittelsenkrechte der Strecke OE. Diese schneide den Einheitskreis im ersten Quadranten im Punkte P und die Strecke OE im Punkte F .

b) Beweise, daß der Winkel φ, der von den beiden Halbgeraden OA und OP eingeschlossen wird, gleich \frac{2π}{5} ist. Es darf die Formel sin(\frac{π}{10}) = \frac{1}{4}(\sqrt{5} − 1) ohne Beweis benutzt werden.

c) Welche Figur läßt sich mit der oben angegebenen Konstruktion mit Zirkel und Lineal zeichnen ? (4)

2. Aufgabe: a) Beweise Satz (1.9) der Vorlesung.

b) Sei M = {1, 2, 3, 4}. Wieviele Relationen gibt es auf der Menge M ? Wieviele Äquivalenzrelationen gibt es auf der Menge M ? (Alle Antworten natürlich mit Begründung!)

c) Sei ρ eine Relation auf einer nichtleeren Menge N, die sowohl lineare Ordnungs– als auch Äquivalenzrelation ist. Welche Relation ist dann ρ? (6)

3. Aufgabe: Sei (G, ·) eine Gruppe, und sei ρ eine beliebige Kongruenzrelation auf (G, ·) . Beweise:

a) N := [1]_{ρ} ist ein Normalteiler in (G, ·) .

b) Es gilt ρ = λ_{N} (s. (1.13a) ) . (4)

4*. Aufgabe: (Sonderaufgabe, für die es Sonderpunkte gibt) Beweise die Formel für sin(\frac{π}{10}) aus Aufgabe 1b) . Hinweis: Man kann mehr geometrisch oder mehr algebraisch vorgehen:

Geometrisch: Bestimme sin(\frac{π}{10}) in einem gleichschenkligen Dreieck, in dem die beiden gleichlangen Schenkel der Länge 1 den Winkel \frac{π}{5} einschließen .

Algebraisch: Seien ε := e^{\frac{2πi}{5}} , η_{1} := ε+ε^{4} und η_{2} := ε^{2} +ε^{3} . Zeige, daß η_{1} und η_{2} Nullstellen eines Polynoms zweiten Grades über ℚ sind. (3*)