Chr.Nelius , Grundzüge der Algebra (WS 2005/06) 3

Zu §9. Der Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen

Eine endliche abelsche Gruppe G heißt primär , wenn die Ordnung von G eine Primzahlpotenz ist. Im Falle |G| = p^{k} mit p ∈ IP nennen wir G dann auch p–primär. Wir haben bewiesen:

\underline{(9.6) SATZ:} Eine endliche zyklische Gruppe ist isomorph zu einem direkten Produkt von primären zyklischen Gruppen.

\underline{(9.9) SATZ:} Primärzerlegung

Jede endliche abelsche Gruppe ist isomorph zu einem direkten Produkt von primären Gruppen.

\underline{Bew:} (s. Vorlesung und Homepage)

\underline{(9.10) SATZ:} G sei eine primäre Gruppe. Dann gilt:

a) G ist isomorph zu einem direkten Produkt von p–primären \underline{zyklischen} Gruppen.

b) Ist G ≅ ZZ_{p^{k_{1}}} × ZZ_{p^{k_{2}}} × … × ZZ_{p^{kr}} mit k_{1} ≥ k_{2} ≥ … ≥ k_{r} ≥ 1 , so ist das r Tupel (k_{1}, k_{2}, …, k_{r}) durch G eindeutig bestimmt.

\underline{Bew:} s. Serge Lang,“Algebra” (1974), Thm 6, S. 46 .

\underline{(9.11) LEMMA:} G_{i}, H_{i} (i = 1, 2, …, r) seien Gruppen. Es gelte G_{i} ≅ H_{i} (∀ i = 1, 2, …, r) . Dann folgt

G_{1} × G_{2} × … × G_{r} ≅ H_{1} × H_{2} × … × H_{r}

\underline{(9.12) HAUPTSATZ} über endliche abelsche Gruppen

G sei eine endliche abelsche Gruppe. Dann gilt:

a) G ist isomorph zu einem direkten Produkt von primären zyklischen Gruppen.

b) Aus H_{1} ×H_{2} ×…×H_{r} ≅ K_{1} ×K_{2} ×…×K_{s} mit primären zyklischen Gruppen H_{i} und K_{j} der Ordnung ≥ 2 folgt r = s und H_{i} ≅ K_{i} (∀ i = 1, 2, …, r) nach geeigneter Umnumerierung.

\underline{(9.13) SATZ:} Die Anzahl A(n) der Isomorphieklassen abelscher Gruppen der Ordnung n ≥ 2 ist

A(n) = z(k_{1}) · . . . · z(k_{r}) ,

wenn n die kanonische PFZ n = p_{1}^{k_{1}} · . . . · p_{r}^{k_{r}} besitzt. Dabei bezeichnet z(k) für k ∈ IN die Anzahl der Partitionen von k ohne Berücksichtigung der Reihenfolge.

\underline{(9.14) BEM:} Eine erzeugende Funktion für z(k) ist ∏_{n=1}^{∞} \frac{1}{1 − x^{n}} , d.h.

∑_{k=0}^{∞} z(k) x^{k} = ∏_{n=1}^{∞} \frac{1}{1 − x^{n}} .