§9. Endliche abelsche Gruppen

Eine endliche abelsche Gruppe G heißt primär , wenn die Ordnung von G eine Primzahlpotenz ist. Im Falle |G| = p^{k} mit p ∈ IP nennen wir G dann auch p–primär. Wir haben bewiesen: \underline{(9.6) SATZ:} Eine endliche zyklische Gruppe ist isomorph zu einem direkten Produkt von primären zyklischen Gruppen.

\underline{(9.9) SATZ:} Primärzerlegung Jede endliche abelsche Gruppe ist isomorph zu einem direkten Produkt von primären Gruppen.

\underline{Bew:} Sei G eine endliche abelsche Gruppe mit n := |G| ≥ 2 .

(1) Für einen Primteiler p von n sei

H := { a | a ∈ G , ord (a) ist eine Potenz von p } .

In der Vorlesung wurde bewiesen, daß H eine p–primäre Untergruppe von G ist.

(2) Sei n = p_{1}^{k_{1}} · p_{2}^{k_{2}} · . . . · p_{r}^{k_{r}} die kanonische PFZ von n. Dann sind insbesondere p_{1}, p_{2}, …, p_{r} alle Primteiler von n. Nach (1) ist

H_{i} := { a | a ∈ G , ord (a) ist eine Potenz von p_{i} } (i = 1, 2, …, r)

eine p_{i}–primäre Untergruppe von G. Wir wollen zeigen, daß sich jedes Element a ∈ G eindeutig in der Form

(⋆) a = a_{1} · a_{2} · . . . · a_{r} mit a_{i} ∈ H_{i} (∀ i = 1, 2, …, r)

darstellen läßt. Setze q_{i} := p_{i}^{k_{i}} (i = 1, 2, …, r) . Dann ist n = q_{1} · q_{2} · . . . · q_{r}. Setze weiter n_{i} := \frac{n}{q_{i}} . Wegen q_{i} | n gilt n_{i} ∈ IN . Wir zeigen, daß die Zahlen n_{1}, n_{2}, …, n_{r} teilerfremd sind. Anderenfalls würde es einen gemeinsamen Primteiler p dieser Zahlen geben. p | n_{1} ⟹ p | p_{2}^{k_{2}} · . . . · p_{r}^{k_{r}} ⟹ p | p_{j}^{k_{j}} für ein j ∈ {2, …, r} ⟹ p = p_{j} mit j ≠ 1 Es muß aber auch p | n_{j} gelten, woraus sich wie oben p = p_{l} für ein l ≠ j ergibt. Daraus folgt p_{l} = p_{j} mit l ≠ j. Widerspruch! Folglich ist ggT(n_{1}, n_{2}, …, n_{r}) = 1 , so daß es Zahlen m_{1}, m_{2}, …, m_{r} ∈ ZZ gibt mit

∑_{i=1}^{r} m_{i}n_{i} = 1

Sei nun a ∈ G beliebig. Dann gilt

a = a^{1} = a^{∑_{i=1}^{r} m_{i} n_{i}} = (a^{m_{1}n_{1}}) · . . . · (a^{m_{r}n_{r}})

Wir behaupten nun a_{i} := a^{m_{i}n_{i}} ∈ H_{i} für alle i = 1, …, r. Es gilt nämlich

a_{i}^{q_{i}} = (a^{m_{i}n_{i}})^{q_{i}} = a^{m_{i} \frac{n}{q_{i}} q_{i}} = a^{m_{i}n} = (a^{n})^{m_{i}} = 1

wegen a^{n} = 1 , da n = |G|. Folglich ist ord (a_{i}) als Teiler von q_{i} = p_{i}^{k_{i}} eine Potenz von p_{i} , so daß a_{i} ein Element aus H_{i} ist. Dies sichert die Existenz der Darstellung (⋆) von a ∈ G. Wir beweisen nun deren Eindeutigkeit. Gelte

a_{1} · a_{2} · . . . · a_{r} = b_{1} · b_{2} · . . . · b_{r} mit a_{i}, b_{i} ∈ H_{i} (1 = 1, 2, …, r)

Dann folgt 1 = (a_{1} · a_{2} · . . . · a_{r}) · (b_{1} · b_{2} · . . . · b_{r})^{−1} = (a_{1}b_{1}^{−1}) · . . . · (a_{r}b_{r}^{−1}) , woraus sich

a_{k}^{−1}b_{k} = (a_{1}b_{1}^{−1}) · . . . · (a_{k−1}b_{k−1}^{−1}) · (a_{k+1}b_{k+1}^{−1}) · . . . · (a_{r}b_{r}^{−1}) ∈ H_{k} ∩ Ĥ_{k}

ergibt. Dabei ist Ĥ_{k} := ⟨ ⋃_{i≠k} H_{i} ⟩. Es genügt nun zu zeigen

(⋆⋆) H_{k} ∩ Ĥ_{k} = {1} ∀ k = 1, 2, …, r ,

da dann a_{k}^{−1}b_{k} = 1 für alle k folgt, also a_{k} = b_{k} für alle k, woraus sich die Eindeutigkeit der Darstellung (⋆) ergibt. Nun der Nachweis von (⋆⋆):

Sei c ∈ H_{k} ∩ Ĥ_{k} beliebig. Wir wollen ord (c) = 1 zeigen, woraus dann c = 1 folgt.

c ∈ H_{k} ⟹ l := ord (c) ist eine Potenz von p_{k}

c ∈ Ĥ_{k} ⟹ c läßt sich als ein Produkt von Elementen aus H_{i} (i ≠ k) darstellen, d.h.

c = ∏_{i≠k} d_{i} mit d_{i} ∈ H_{i} , ord (d_{i}) = p_{i}^{s_{i}} (s_{i} ∈ IN_{0}) .

Annahme: l := ord (c) > 1 . Mit q := ∏_{i≠k} p_{i}^{s_{i}} folgt dann

c^{q} = ∏_{i≠k} d_{i}^{q} = ∏_{i≠k} (d_{i}^{p_{i}^{s_{i}}} )^{t_{i}} = 1 (mit t_{i} = q/p_{i}^{s_{i}})

und daraus l | q. Ist also p ein Primteiler von l = ord (c) , so folgt p ∈ {p_{1}, …, p_{k−1}, p_{k+1}, …, p_{r}}. Folglich ist l teilerfremd zu jeder Potenz von p_{k}. l ist aber selbst eine Potenz von p_{k}, so daß l = 1 sein muß . Widerspruch!

(3) Die Abbildung f : H_{1} × H_{2} × … × H_{r} ⟶ G sei definiert durch

f((a_{1}, a_{2}, …, a_{r})) := a_{1} · a_{2} · . . . · a_{r}

f ist ein Gruppenhomomorphismus:

Seien x = (a_{1}, a_{2}, …, a_{r}), y = (b_{1}, b_{2}, …, b_{r}) ∈ H_{1} × H_{2} × … × H_{r}. Dann gilt:

f(x · y) = f((a_{1}b_{1}, …, a_{r}b_{r})) = (a_{1}b_{1}) · . . . · (a_{r}b_{r}) = (a_{1} · . . . · a_{r}) · (b_{1} · . . . · b_{r}) = f(x) · f(y)

\underline{f ist injektiv:} Sei (a_{1}, a_{2}, …, a_{r}) ein Element aus Kern(f) . Dann folgt:

a_{1} · . . . · a_{r} = f((a_{1}, …, a_{r})) = 1 = 1 · . . . · 1 wobei die 1 an der Stelle i das neutrale Element in H_{i} ist. Da die Darstellung nach (⋆) eindeutig bestimmt ist, folgt (a_{1}, …, a_{r}) = (1, …, 1), d.h. (a_{1}, …, a_{r}) ist das neutrale Element in H_{1} × … × H_{r}. Folglich ist Kern(f) trivial und f injektiv.

\underline{f ist surjektiv} : Sei a ∈ G beliebig. Nach (⋆) gilt a = a_{1} · a_{2} · . . . · a_{r} mit a_{i} ∈ H_{i} (∀ i = 1, 2, …, r) . Dann ist (a_{1}, …, a_{r}) ein Urbild von a unter f .

\underline{BEM:} An vielen Stellen des Beweises ist stillschweigend von der Kommutativität der Gruppe Gebrauch gemacht worden!