Chr.Nelius , Grundzüge der Algebra (WS 2005/06) 3

\underline{(8.10) BEISPIEL:} Die Faktorgruppe C^{⋆}/S

(S. Aufg. 18) Es ist (C^{⋆}, ·) eine abelsche Gruppe und S := { z | z ∈ C, |z| = 1 } ein Normalteiler in (C^{⋆}, ·). Anschaulich stellt S den Einheitskreis in der komplexen Zahlenebene dar.

Für a, b ∈ C^{⋆} gilt: b ∈ aS ⟺ a^{−1}b ∈ S ⟺ |a^{−1}b| = 1 ⟺ |a| = |b| , d.h. die Nebenklasse aS = [a]_{S} ist anschaulich der Kreis um 0 mit Radius |a|. Insbesondere ist S = 1S = [1]_{S}. Damit ist

C^{⋆}/S = { [a]_{S} | a ∈ C^{⋆} } = {aS | a ∈ C^{⋆} }

anschaulich die Menge aller konzentrischen Kreise um den Nullpunkt mit einem Radius r ∈ IR_{>0}. Jeder solche Kreis schneidet die positive x–Achse in genau einem Punkt (dieses ist der Radius des Kreises), so daß IR_{>0} ein vollständiges Vertretersystem für die Nebenklassen nach S ist:

C^{⋆}/S = { [r]_{S} | r ∈ IR_{>0} }

Die “Multiplikation” zweier Nebenklassen erfolgt nach der Vorschrift

[a]_{S} ⊙ [b]_{S} = [a · b]_{S}

Hierbei ist [a·b]_{S} der Kreis um 0 mit Radius |a·b| = |a|·|b|, d.h. zwei Kreise werden miteinander “multipliziert”, indem man ihre Radien multipliziert. So ist z.B. [2]_{S} ⊙ [3]_{S} = [2 · 3]_{S} = [6]_{S}.

\underline{(8.11) SATZ:} Sei ZZ_{n} = \{ [a]_{n} | a ∈ ZZ \} = \{[0]_{n}, [1]_{n}, [2]_{n}, …, [n − 1]_{n} \} die Menge der Restklassen modulo n ∈ IN (s. Aufg. 17) . Dann ist (ZZ_{n}, ⊕) eine zyklische Gruppe der Ordnung n. Dabei ist die Verknüpfung ⊕ definiert durch

[a]_{n} ⊕ [b]_{n} := [a + b]_{n} .

In (ZZ_{n}, ⊕) ist[0]_{n} das neutrale Element, und [−a]_{n} ist Inverses von [a]_{n}.

(8.12) SATZ:

Homomorphiesatz für Gruppen

f : (G, ⋆) ⟶ (H, ♢) sei ein Gruppenhomomorphismus und N ≤ (G, ⋆) ein Normalteiler mit N ⊆ Kern(f). Dann gilt:

a) Es gibt genau einen Gruppenhomomorphismus f^{⋆} : (G/N, ⊗) ⟶ (H, ♢) mit der Eigenschaft f^{⋆} ∘ ν_{N} = f . f^{⋆} heißt der durch f induzierte Gruppenhomomorphismus. f^{⋆} ist definiert durch f^{⋆}([a]_{N}) := f(a) für alle a ∈ G.

[figure: (G, ⋆); (H, ♢); (G/N, ⊗); f; ν_{N}; f^{⋆}; ≺; f^{⋆} ∘ ν_{N} = f]

b) f^{⋆} surjektiv ⟺ f surjektiv

c) f^{⋆} injektiv ⟺ N = Kern(f)

\underline{(8.13) FOLG:} f : (G, ⋆) ⟶ (H, ♢) sei ein Gruppenhomomorphismus. Dann gilt:

a) (G/Kern(f), ⊗) ≅ (Bild(f), ♢) .

b) Ist f surjektiv, so folgt (G/Kern(f), ⊗) ≅ (H, ♢) .

\underline{(8.14) BEISPIELE:} a) Der surjektive Gruppenhomomorphismus det : (GL_{n}(K), ·) ⟶ (K^{⋆}, ·) , A ⟼ det(A) , induziert einen Gruppenisomorphismus det^{⋆} : GL_{n}(K)/SL_{n}(K) ⟶ (K^{⋆}, ·) . Dieser ist definiert durch [A] ⟼ det(A).

b) Sei n ≥ 2 . Der surjektive Gruppenhomomorphismus sign:(S_{n}, ∘) ⟶ ({ 1, −1 }, ·) , π ⟼ sign (π) , induziert einen Gruppenisomorphismus sign^{⋆} : S_{n}/A_{n} ⟶ { 1, −1 }. Dieser ist definiert durch [π] ⟼ sign (π) .