§8. Faktorgruppen und der Homomorphiesatz

Sei (G, ⋆) eine Gruppe und U ≤ (G, ⋆) eine Untergruppe. Ferner sei

L_{G}(U) = { a ⋆ U | a ∈ G } =: L

die Menge der Linksnebenklassen nach U . Frage: Läßt sich L wieder zu einer Gruppe machen? Naheliegender Versuch: Komplexverknüpfung

\underline{(8.1) BEM:} Genau dann wird durch die Vorschrift

(a ⋆ U) ⊙ ⋆ (b ⋆ U) := (a ⋆ b) ⋆ U

eine Verknüpfung auf der Menge L_{G}(U) aller Linksnebenklassen nach U definiert, wenn gilt

∀ a ∈ G : a ⋆ U = U ⋆ a

\underline{(8.2) LEMMA:} Für U ≤ (G, ⋆) sind äquivalent:

a) ∀ a ∈ G : a ⋆ U = U ⋆ a

b) ∀ a ∈ G : a ⋆ U ⊆ U ⋆ a

c) ∀ a ∈ G ∀ x ∈ U : a ⋆ x ⋆ \overline{a} ∈ U .

\underline{(8.3) DEF:} (G, ⋆) sei eine Gruppe. Eine Teilmenge N ⊆ G heißt Normalteiler von (G, ⋆) , in Zeichen N ⊴ (G, ⋆) , wenn gilt: NT_{1}) N ≤ (G, ⋆) NT_{2}) ∀ a ∈ G ∀ x ∈ N : a ⋆ x ⋆ \overline{a} ∈ N . Die Linksnebenklasse von a ∈ G nach N wird mit [a]_{N} bezeichnet und die Menge aller Linksnebenklassen nach N mit G/N (lies:“G nach N”) .

\underline{(8.4) BEM:} a) N ⊴ (G, ⋆) ⟹ a ⋆ N = [a]_{N} = N ⋆ a

b) N ⊴ (G, ⋆) ⟹ G/N = { [a]_{N} | a ∈ G } = L_{G}(N) = R_{G}(N) .

c) U ≤ (G, ⋆) und (G : U) = 2 ⟹ U ⊴ G.

\underline{(8.5) LEMMA:} Ist f : (G, ⋆) ⟶ (H, △) ein Gruppenhomomorphismus, so gilt

Kern(f) ⊴ (G, ⋆) .

\underline{(8.6) BEISPIELE:} a) \{e_{G}\} ⊴ (G, ⋆) , G ⊴ (G, ⋆)

b) In einer abelschen Gruppe ist jede Untergruppe auch Normalteiler.

c) Eine Untergruppe der Ordnung 2 von (S_{3}, ∘) ist kein Normalteiler.

d) In der nichtabelschen Gruppe (Q, ·) aus Aufgabe 32 , der sog. Quaternionengruppe, ist jede Untergruppe Normalteiler.

e) A_{n} ⊴ (S_{n}, ∘) (Begründung: (S_{n} : A_{n}) = 2 für n ≥ 2 oder A_{n} = Kern(sign)).

f) SL_{n}(K) ⊴ (GL_{n}(K), ·) (Begründung: SL_{n}(K) = Kern(det) ).

\underline{(8.7) SATZ:} (G, ⋆) sei eine Gruppe und N ein Normalteiler von (G, ⋆) . Dann gilt:

a) Die Menge G/N der Nebenklassen nach N ist eine Gruppe bzgl. der Verknüpfung

[a]_{N} ⊙ ⋆ [b]_{N} := [a ⋆ b]_{N} (∀ a, b ∈ G)

Dabei ist [e_{G}]_{N} das neutrale Element, und [\overline{a}]_{N} ist das Inverse von [a]_{N} . (G/N, ⊙ ⋆ ) heißt Faktorgruppe von G nach N .

b) Die Abbildung

ν_{N} : G ⟶ G/N , a ⟼ [a]_{N} (a ∈ G)

ist ein surjektiver Gruppenhomomorphismus ν_{N} : (G, ⋆) ⟶ (G/N, ⊙ ⋆ ) mit

Kern(ν_{N}) = N .

ν_{N} heißt natürlicher Gruppenhomomorphismus .

c) Ist (G, ⋆) abelsch, so ist auch (G/N, ⊙ ⋆ ) abelsch.

\underline{(8.8) BEM:} Ist (G, ⋆) eine endliche Gruppe und ist N ⊴ (G, ⋆) ein Normalteiler, so gilt

| G/N | = (G : N) = \frac{|G|}{|N|} .

\underline{(8.9) BEM:} (G, ⋆) sei eine Gruppe und N ⊆ G eine Teilmenge. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

a) N ist Normalteiler von (G, ⋆)

b) N ist Kern eines geeigneten Gruppenhomomorphismus.