§7. Gruppenhomomorphismen

\underline{(7.1) DEF:} (G, ⋆) und (H, △) seien Gruppen.

a) Eine Abbildung f : G ⟶ H heißt ein Gruppenhomomorphismus von (G, ⋆) nach (H, △), wenn gilt

∀ a, a′ ∈ G : f(a ⋆ a′) = f(a)△f(a′) .

Ist f außerdem bijektiv, so heißt f ein Gruppenisomorphismus von (G, ⋆) auf (H, △).

b) (G, ⋆) heißt isomorph zu (H, △), in Zeichen (G, ⋆) ≅ (H, △), wenn es einen Gruppenisomorphismus von (G, ⋆) auf (H, △) gibt.

\underline{(7.2) BEISPIELE:} a) f : (G, ⋆) ⟶ (H, △), definiert durch a ⟼ e_{H} (∀ a ∈ G), ist ein Gruppenhomomorphismus, der sog. triviale Gruppenhomomorphismus.

b) Die identische Abbildung id_{G} : (G, ⋆) ⟶ (G, ⋆) ist ein Gruppenisomorphismus.

c) det : (GL_{n}(K), ·) ⟶ (K^{⋆}, ·) ist ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Hierbei ist K ein beliebiger Körper und K^{⋆} := K \ {0_{K}}. Grund: Determinantenproduktsatz det(A · B) = det(A) · det(B).

d) sign:(S_{n}, ∘) ⟶ ({1, −1}, ·) , π ⟼ sign(π), ist für n ≥ 2 ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Grund: sign (π ∘ ρ) = sign (π) · sign (ρ) .

e) b : (C^{⋆}, ·) ⟼ (IR_{>0}, ·) , z ⟼ |z| , ist ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Grund: | z · w | = | z | · | w | .

f) exp : (IR, +) ⟶ (IR_{>0}, ·) , x ⟼ e^{x} , ist ein Gruppenisomorphismus mit Umkehrabbildung exp^{−1} = ln : (IR_{>0}, ·) ⟶ (IR, +). Grund: e^{x+y} = e^{x} · e^{y} .

h) Sei (G, ⋆) eine Gruppe und a ∈ G fest. Dann ist die Abbildung f : (ZZ, +) ⟶ (G, ⋆) , n ⟼ a^{(n)}, ein Gruppenhomomorphismus. Grund: a^{(m+n)} = a^{(m)}⋆a^{(n)}.

i) Ist f : V ⟶ W eine K–lineare Abbildung zwischen zwei K–Vektorräumen (K ein beliebiger Körper), so ist f : (V, +) ⟶ (W, +) ein Gruppenhomomorphismus.

\underline{(7.3) LEMMA:} f : (G, ⋆) ⟶ (H, △) sei ein Gruppenhomomorphismus. Dann gilt:

a) f(e_{G}) = e_{H}

b) f(\overline{a}) = \overline{f(a)} (∀ a ∈ G).

\underline{(7.4) LEMMA:} a) Sind f : (G, ⋆) ⟶ (H, △) und g : (H, △) ⟶ (K, ♢) Gruppenhomomorphismen (bzw. Gruppenisomorphismen), so ist auch g ∘ f : (G, ⋆) ⟶ (K, ♢) ein Gruppenhomomorphismus (bzw. Gruppenisomorphismus).

b) Ist f : (G, ⋆) ⟶ (H, △) ein Gruppenisomorphismus, so ist auch f^{−1} : (H, △) ⟶ (G, ⋆) ein Gruppenisomorphismus.

Eigenschaften, die unter Gruppenisomorphismen erhalten bleiben:

\underline{(7.5) SATZ:} f : (G, ⋆) ⟶ (H, △) sei ein Gruppenisomorphismus. Dann gilt:

a) (G, ⋆) abelsch ⟺ (H, △) abelsch

b) |G| = |H|

c) ord (a) = ord (f(a)) (∀ a ∈ G)

d) (G, ⋆) zyklisch ⟺ (H, △) zyklisch.

\underline{(7.6) FOLG:} a) Es gilt (V, ⋆) ≅ (EW_{4}, ·) , da die Kleinsche Vierergruppe (V, ⋆) nicht zyklisch ist.

b) Es gilt (S_{3}, ∘) ≅ (EW_{6}, ·) , da (S_{3}, ∘) nicht abelsch ist.

\underline{(7.7) SATZ:} Sei (G, ⋆) eine Gruppe. Dann gilt:

a) im Falle |G| = ∞ : (G, ⋆) zyklisch ⟺ (G, ⋆) ≅ (ZZ, +)

b) Im Falle |G| =: n < ∞ : (G, ⋆) zyklisch ⟺ (G, ⋆) ≅ (EW_{n}, ·) . Hierbei bezeichnet (EW_{n}, ·) die Gruppe der n–ten Einheitswurzeln in C.

\underline{(7.8) SATZ:} a) Eine Gruppe der Ordnung 4 ist entweder isomorph zu (EW_{4}, ·) oder zur Kleinschen Vierergruppe.

b) Eine Gruppe der Ordnung 6 ist entweder isomorph zu (EW_{6}, ·) oder zur symmetrischen Gruppe (S_{3}, ∘).

\underline{(7.9) SATZ:} f : (G, ⋆) ⟶ (H, △) sei ein Gruppenhomomorphismus. Dann gilt:

a) U ≤ (G, ⋆) ⟹ f(U) ≤ (H, △)

b) U_{1}, U_{2} ≤ (G, ⋆) : U_{1} ⊆ U_{2} ⟹ f(U_{1}) ⊆ f(U_{2})

c) V ≤ (H, △) ⟹ f^{−1}(V) ≤ (G, ⋆)

d) V_{1}, V_{2} ≤ (H, △) : V_{1} ⊆ V_{2} ⟹ f^{−1}(V_{1}) ⊆ f^{−1}(V_{2})

\underline{(7.10) FOLG:} Isomorphe Gruppen haben isomorphe Untergruppenverbände.

\underline{(7.11) DEF:} f : (G, ⋆) ⟶ (H, △) sei ein Gruppenhomomorphismus. Dann definiert man:

a) Kern(f) := { a | a ∈ G, f(a) = e_{H} } ⊆ G

b) Bild(f) := { f(a) | a ∈ G } ⊆ H.

\underline{(7.12) SATZ:} f : (G, ⋆) ⟶ (H, △) sei ein Gruppenhomomorphismus. Dann gilt:

a) Kern(f) ≤ (G, ⋆)

b) f injektiv ⟺ Kern(f) = { e_{G} }

c) Bild(f) ≤ (H, △)

d) f surjektiv ⟺ Bild(f) = H.

\underline{(7.13) BEISPIELE:} Wir geben für die Gruppenhomomorphismen aus (7.2) den jeweiligen Kern und das jeweilige Bild an. Die Numerierung entspricht der von (7.2).

a) Kern(f) = G , Bild(f) = { e_{H} }

b) Kern(id_{G}) = { e_{G} } , Bild(id_{G}) = G

c) Kern(det) = {A | A ∈ GL_{n}(K), det(A) = 1 } = SL_{n}(K) , Bild(det) = K^{⋆}

d) Kern(sign) = { π | π ∈ S_{n}, sign(π) = 1 } = A_{n} , Bild(sign) = { 1, −1 }

e) Kern(b) = { z | z ∈ C^{⋆}, |b| = 1 } , Bild(b) = IR_{>0}

f) Kern(exp) = { 0 } , Bild(exp) = IR_{>0}

h) ord (a) = m < ∞ : Kern(f) = ZZ m , ord (a) = ∞ : Kern(f) = { 0 } In beiden Fällen gilt Bild(f) = ⟨ a ⟩.