Chr.Nelius , Grundzüge der Algebra (WS 2005/06) 2 § 6 . Die symmetrische Gruppe (S_{n}, ∘) (Fortsetzung) \underline{(6.5) KOROLLAR:} Für n ≥ 2 ist die Menge T_{n} der Transpositionen aus S_{n} ein EZS der Gruppe (S_{n}, ∘) . \underline{(6.6) LEMMA:} a) Ein r–Zyklus aus S_{n} hat die Ordung r.

b) Ist π ∈ S_{n} Produkt von paarweise disjunkten r_{i}–Zyklen σ_{1}, σ_{2}, …, σ_{s}, so gilt ord(π) = kgV(r_{1}, …, r_{s})

Das Vorzeichen einer Permutation In der Linearen Algebra II ist bei der Behandlung von Determinanten das Vorzeichen einer Permutation eingeführt worden (s. Einschub C, Lin.Alg.II, SS 2005) . Wir fassen noch einmal das Wichtigste zusammen: \underline{(6.7) BEM:} a) Ein Zahlenpaar (i, k) ∈ IN_{n} × IN_{n} heißt eine Inversion (oder ein Fehlstand) einer Permutation π ∈ S_{n}, wenn

i < k und π(i) > π(k)

gilt. Es bezeichne ν(π) die Anzahl der Inversionen von π.

b) Das Vorzeichen sign(π) einer Permutation π ∈ S_{n} ist definiert durch sign(π) := (−1)^{ν(π)}

c) Eine Permutation π ∈ S_{n} heißt gerade, wenn ν(π) eine gerade Zahl ist (d.h. sign(π) = 1) , ansonsten ungerade (d.h. sign(π) = −1) .

d) Eine Transposition ist immer ungerade.

e) Für π, ρ ∈ S_{n} gilt: sign(π ∘ ρ) = sign(π) · sign(ρ) . \underline{(6.8) LEMMA:} Für einen r–Zyklus σ ∈ S_{n} gilt:

a) sign(σ) = (−1)^{r−1}.

b) σ gerade ⟺ r ungerade .

Die alternierende Gruppe (A_{n}, ∘)

\underline{(6.9) SATZ:} Für n ∈ IN, n ≥ 2 sei A_{n} die Menge der geraden Permutationen aus S_{n}, d.h.

A_{n} = {π | π ∈ S_{n}, π gerade }

a) A_{n} ist eine Untergruppe von (S_{n}, ∘) . (A_{n}, ∘) heißt alternierende Gruppe von n Elementen .

b) Jede Untergruppe von (S_{n}, ∘) enthält entweder nur gerade Permutationen oder gleichviel gerade wie ungerade Permutationen .

c) |A_{n}| = \frac{1}{2} n! .

d) (A_{n}, ∘) abelsch ⟺ n ≤ 3

\underline{(6.10) LEMMA:} Sei n ≥ 3 . Dann erzeugen die Dreierzyklen aus S_{n} die alternierende Gruppe (A_{n}, ∘)

\underline{(6.11) LEMMA:} Die symmetrische Gruppe (S_{3}, ∘)

a) Die Elemente von S_{3} sind π_{0} = (1) , π_{1} = (1 2 3) , π_{2} = (3 2 1) , π_{3} = (2 3) , π_{4} = (1 3) , π_{5} = (1 2)

b)  Zyklenstruktur Anzahl Ordnung Vorzeichen
(1)  1  1  1
(1 2)  3  2  –1
(1 2 3)  2  3  1

6

c) A_{3} = {π_{0}, π_{1}, π_{2}} = ⟨ π_{1} ⟩ = ⟨ π_{2} ⟩

d) Der Untergruppenverband von (S_{3}, ∘)

6  S_{3}
3 A_{3}
2  ⟨ π_{3} ⟩ ⟨ π_{4} ⟩ ⟨ π_{5} ⟩
1  ⟨ π_{0} ⟩

\underline{(6.12) LEMMA:} Die symmetrische Gruppe (S_{4}, ∘)

a) Übersicht über die Elemente von S_{4}:

Zyklenstruktur Anzahl Ordnung Vorzeichen
(1)  1  1  1
(1 2)  6  2  –1
(1 2 3)  8  3  1
(1 2 3 4)  6  4  –1
(1 2) (3 4)  3  2  1

24

b) A_{4} besteht aus dem neutralen Element ε, acht 3–Zyklen und drei Produkten disjunkter 2–Zyklen.

Der Untergruppenverband von (A_{4}, ∘)

\underline{(6.13) SATZ:} In der alternierenden Gruppe (A_{4}, ∘) , die die Ordnung 12 hat, gibt es keine Untergruppe der Ordnung 6 .

Der Untergruppenverband von (S_{4}, ∘)