Chr.Nelius , Grundzüge der Algebra (WS 2005/06) 1

§ 6 . Die symmetrische Gruppe (S_{n}, ∘)

Für n ∈ IN ist S_{n} die Menge aller Permutationen der Zahlen 1, 2, …, n oder gleichbedeutend damit die Menge aller bijektiven Abbildungen der Menge IN_{n} := {1, 2, …, n} auf sich. S_{n} ist bzgl. der Hintereinanderausführung eine Gruppe, die für n ≥ 3 nichtabelsch ist. Die Ordnung von S_{n} ist n! (s.(1.14) ).

\underline{(6.1) DEF:} a) Eine Permutation σ ∈ S_{n} heißt ein Zyklus , wenn es eine Zahl r ≥ 2 und paarweise verschiedene Zahlen k_{1}, k_{2}, …, k_{r} ∈ IN_{n} gibt mit

σ(k_{i}) = k_{i+1} ∀ i ∈ {1, 2, …, r − 1} , σ(k_{r}) = k_{1}
σ(k) = k ∀ k ∈ IN_{n} \ {k_{1}, k_{2}, …, k_{r}}

Schreibweise: σ = (k_{1} k_{2} … k_{r})

r heißt dann die Länge von σ, und man nennt σ auch einen r–Zyklus

Ein Zyklus der Länge 2 heißt auch eine Transposition , einer der Länge 3 ein Dreierzyklus . Die Identität ist ein 1–Zyklus .

b) Zwei Zyklen (k_{1} k_{2} … k_{r}) und (l_{1} l_{2} … l_{s}) heißen disjunkt , wenn

{k_{1}, k_{2}, …, k_{r}} ∩ {l_{1}, l_{2}, …, l_{s}} = ∅ gilt.

\underline{(6.2) BEM:} a) (k_{1} k_{2} … k_{r}) = (k_{2} k_{3} … k_{r} k_{1}) = … = (k_{r} k_{1} k_{2} … k_{r−1}) .

b) (k_{1} k_{2} … k_{r})^{−1} = (k_{r} k_{r−1} … k_{1})

c) Disjunkte Zyklen sind vertauschbar:

(k_{1} k_{2} … k_{r}) ∘ (l_{1} l_{2} … l_{s}) = (l_{1} l_{2} … l_{s}) ∘ (k_{1} k_{2} … k_{r}) .

\underline{(6.3) SATZ:} Jede Permutation π ∈ S_{n} ist darstellbar als Hintereinanderausführung (auch “Produkt”) von paarweise disjunkten Zyklen. Diese Darstellung ist eindeutig bis auf die Reihenfolge der Zyklen.

\underline{(6.4) KOROLLAR:} a) Jeder Zyklus ist ein Produkt von Transpositionen.

b) Jede Permutation ist ein Produkt von Transpositionen.

\underline{(6.5) KOROLLAR:} Für n ≥ 2 ist die Menge T_{n} der Transpositionen aus S_{n} ein EZS der Gruppe (S_{n}, ∘) .

\underline{(6.6) LEMMA:} a) Ein r–Zyklus aus S_{n} hat die Ordung r.

b) Ist π ∈ S_{n} Produkt von paarweise disjunkten r_{i}–Zyklen σ_{1}, σ_{2}, …, σ_{s}, so gilt

ord(π) = kgV(r_{1}, …, r_{s})