\underline{§14 Körper}

\underline{\underline{(14.1) DEF:}} Ein \underline{kommutativer} Ring (K, +, ·) heißt ein \underline{Körper}, wenn gilt:

1) 1_{K} ≠ 0_{K} 2) K^{⋆} = K \ {0_{K}}

\underline{\underline{(14.2) BEM:}} a) Ist K ein Körper, so ist (K \ \{0_{K}\}, ·) eine Gruppe.

b) Q, IR, C sind Körper .

c) ZZ_{2}, ZZ_{3}, ZZ_{5}, ZZ_{7} sind (endliche) Körper .

d) Jeder Unterring eines Körpers ist nullteilerfrei. Insbesondere ist jeder Körper nullteilerfrei.

e) Ein Schiefkörper ist ein nicht notwendig kommutativer Ring S mit 1_{S} ≠ 0_{S} und S^{⋆} = S\{0_{S}} . Ein Beispiel für einen Schiefkörper ist

IH := \{( \begin{matrix}w & z \\ −\overline{z} & \overline{w} \end{matrix} ) | w, z ∈ C \} ⊆ M_{2}(C) .

Dieser sog. Schiefkörper der Hamiltonschen Quaternionen ist nichtkommutativ. Nach einem Satz von Wedderburn aus dem Jahre 1905 ist jeder endliche Schiefkörper kommutativ.

\underline{\underline{(14.3) SATZ:}} Für n ∈ IN, n ≥ 1, sind folgende Aussagen äquivalent:

a) Der Ring ℤ_{n} ist ein Körper

b) Der Ring ℤ_{n} ist ein IB

c) n ist eine Primzahl .

\underline{\underline{(14.4) DEF:}} Sei K ein Körper. Eine Unterring U ⊆ K heißt ein \underline{Unterkörper} von K, wenn gilt: ∀ x ∈ U \ {0_{K}} : x^{−1} ∈ U

\underline{\underline{BEM:}} Ein Unterkörper U ⊆ K ist für sich betrachtet wieder ein Körper. Seine Verknüpfungen sind die Einschränkungen der Verknüpfungen von K auf U.

\underline{\underline{Beispiele:}} Q ist ein Unterkörper von IR , \{a + b\sqrt{2} | a, b ∈ Q\} ist ein Unterkörper von IR .

\underline{\underline{(14.5) LEMMA:}} Für einen kommutativen Ring R ≠ 0 sind folgende Aussagen äquivalent:

a) R ist ein Körper

b) 0 und R sind die einzigen Ideale in R.

Fazit: Faktorringbildungen sind bei Körpern uninteressant! Es gibt nur die Fälle K/0 ≅ K und K/K ≅ 0 .

\underline{\underline{BEM:}} Auch Produktbildungen sind bei Körpern uninteressant, da das Produkt zweier Körper nie mehr ein Körper sein kann.

\underline{\underline{(14.6) DEF:}} Ein Ringhomomorphismus zwischen zwei Körpern heißt ein Körperhomomorphismus . Ein bijektiver Körperhomomorphismus heißt ein Körperisomorphismus .

\underline{\underline{(14.7) LEMMA:}} Jeder Körperhomomorphismus ist injektiv.

Endliche Körper

\underline{\underline{(14.8) LEMMA:}} K sei ein endlicher Körper. Dann gibt es eine Primzahl p (die sog. Charakteristik von K), für die gilt:

a) p 1_{K} = 0_{K}

b) K enthält einen kleinsten Unterkörper U (den sog. Primkörper von K) mit U ≅ ℤ_{p}.

\underline{Bew:} Nach Voraussetzung ist (K, +) eine endliche abelsche Gruppe, in der daher jedes Element endliche Ordnung hat. Sei p := ord(1_{K}) . Dann gilt

p1_{K} = 0_{K}

und p ist die kleinste der positiven Zahlen m mit m 1_{K} = 0_{K} . (m 1_{K} ist die m–te Potenz von 1_{K} in der Gruppe (K, +)) . Wir betrachten die Abbildung

α : ZZ ⟶ K definiert durch α(k) := k 1_{K} (k ∈ ZZ)

α ist ein Ringhomomorphismus mit Bild(α) = ⟨1_{K}⟩ ⊆ K. Wir bestimmen den Kern von α:

α(p) = p 1_{K} = 0_{K} ⟹ p ∈ Kern(α) ⟹ ZZp ⊆ Kern(α)

k ∈ Kern(α) ⟹ k 1_{K} = 0_{K} ⟹^{(4.20d)} p|k ⟹ k ∈ ZZp . Also

Kern(α) = ZZp mit p = ord(1_{K})

Nach dem Homomorphiesatz für Ringe (13.14) gibt es eine Ringisomorphie

ZZ_{p} = ZZ/Kern(α) ≅ Bild(α) ⊆ K

Als Unterring eines Körpers ist Bild(α) nullteilerfrei, so daß auch der dazu isomorphe Ring ZZ_{p} nullteilerfrei, also ein IB ist. Nach (14.3) ist dann p eine Primzahl. Sei U := Bild(α) = ⟨1_{K}⟩. Wegen U ≅ ZZ_{p} (Ringisomorphie) ist dann U ein Unterkörper von K. Ist nun V ein beliebiger Unterkörper von K, so gilt 1_{K} ∈ V und damit ⟨1_{K}⟩ ⊆ V , da insbesondere V ≤ (K, +) . Damit ist alles bewiesen. • \underline{\underline{(14.9) SATZ:}} Ist K ein endlicher Körper, so gibt es eine Primzahl p und ein n ∈ IN mit

| K | = p^{n} .

\underline{Bew:} Nach (14.8) gibt es eine Primzahl p, so daß K einen Unterkörper U mit p Elementen enthält. (U ist ein Körper!) K läßt sich als Vektorraum über U auffassen. Als solcher ist K endlich erzeugbar (K ist eine endliche Menge!) und damit endlich–dimensional. Sei n := dim_{U}(K) . Dann folgt

K ≅ U^{n} ⟹ |K| = |U^{n}| = |U|^{n} = p^{n} .

Polynomringe über Körpern

Wir konstruieren endliche Körper als Faktorringe geeigneter Polynomringe über Körpern. Ist K ein Körper, so besitzt der Polynomring in einer Unbestimmten über K zusätzliche Eigenschaften. Zunächst sei erwähnt, daß K[T] durch die in 10.) zum Beweis von (13.20) definierte skalare Multiplikation zu einem unendlich–dimensionalen K–Vektorraum mit {T^{0}, T^{1}, T^{2}, …} als Basis wird.

\underline{\underline{(14.10) SATZ:}} Ist K ein Körper, so ist K[T] ein HIB .

\underline{Bew:} Ist I ≠ 0 ein Ideal von K[T], so ist die Menge der Grade aller Polynome aus I \ \{0\} eine nichtleere Teilmenge von IN_{0}, die ein kleinstes Element m enthält. Sei g ∈ I \ {0} ein Polynom vom Grade m. Dann gilt K[T]g = (g) ⊆ I wegen der Idealeigenschaft von I. Ist umgekehrt h ∈ I beliebig, so ergibt Division mit Rest h = qg + r mit r = 0 oder grad(r) < grad(g) = m. Wäre r ≠ 0 , so hätte man mit r = h − qg ∈ I \ {0} (I ist ein Ideal!) ein Polynom vom Grade < m in I, was der Wahl von m widerspricht. Also folgt r = 0 und daraus h = qg ∈ (g), womit I ⊆ (g) gezeigt ist. Insgesamt gilt also I = (g) , wobei g ein Polynom kleinsten Grades in I \ {0} ist. •

\underline{\underline{BEM:}} Dieser Beweis verläuft analog zum Nachweis von (2.11), wo gezeigt wird, daß jede Untergruppe von (ZZ, +) zyklisch ist.

\underline{\underline{(14.11) DEF:}} a) Sei K ein Körper. Sind f, g ∈ K[T] , so heißt f ein Teiler von g (in Zeichen: f|g) , wenn es ein Polynom h ∈ K[T] gibt mit g = fh.

b) Seien f_{1}, f_{2} ∈ K[T]. Ein Polynom g ∈ K[T] heißt ein größter gemeinsamer Teiler (ggT) von f_{1} und f_{2}, wenn gilt:

i) g| f_{1} und g| f_{2} ii) ∀ h ∈ K[T] : h| f_{1} ∧ h| f_{2} ⟹ h| g

\underline{\underline{(14.12) SATZ:}} K sei ein Körper. Zu je zwei Polynomen f_{1}, f_{2} ∈ K[T] existiert ein ggT g, der bis auf Multiplikation mit einer Einheit eindeutig bestimmt ist. Außerdem gibt es Polynome h_{1}, h_{2} ∈ K[T] mit

g = h_{1} · f_{1} + h_{2} · f_{2}

\underline{\underline{(14.13) BEM:}} Da in K[T] Division mit Rest möglich ist, läßt sich ein ggT zweier Polynome mit Hilfe des euklidischen Algorithmus berechnen.

Primzahlen sind ganze Zahlen ≥ 2, die keine echten Teiler haben. Wichtig ist der Satz über die PFZ. Wir werden sehen, daß wir diese Ergebnisse auf Polynomringe übertragen können .

\underline{\underline{(14.14) DEF:}} Sei K ein Körper. Ein Polynom f ∈ K[T] vom Grade ≥ 1 heißt irreduzibel (über K) , wenn gilt

∀ g ∈ K[T] : g|f ⟹ grad(g) = 0 oder grad(g) = grad(f) .

\underline{\underline{BEM:}} a) g|f und grad(g) = grad(f) bedeutet: es gibt ein a ∈ K^{⋆} mit f = ag.

b) Jedes lineare Polynom ist irreduzibel .

c) Ein Polynom f ∈ K[T] \underline{vom Grade 2 oder 3} ist genau dann irreduzibel, wenn es keine Nullstelle in K besitzt.

d) Das Polynom T^{2} + 1 ist irreduzibel über IR , aber reduzibel über C .

\underline{\underline{(14.15) SATZ:}} Sei K ein Körper. Dann läßt sich jedes Polynom aus K[T] vom Grade ≥ 1 als Produkt von (endlich vielen) irreduziblen Polynomen darstellen. Diese Darstellung ist eindeutig bis auf die Reihenfolge und Multiplikation mit Einheiten .

\underline{Bew:} Die Existenz läßt sich leicht durch Induktion nach m := grad(f) ≥ 1 zeigen: (IA) Im Falle \underline{m = 1} ist f irreduzibel, also Produkt aus einem Faktor. (IV) Sei m > 1 beliebig und die Behauptung richtig für alle Polynome vom Grade < m (IB) Jedes Polymom f ∈ K[T] vom Grade m ist Produkt von irreduziblen Polynomen:

1. Fall: f ist irreduzibel. Dann sind wir wieder fertig.

2. Fall: f ist reduzibel. Dann ist f = g · h Produkt zweier Polynome vom Grade < m. Nach (IV) sind dann aber g und h jeweils Produkte von irreduziblen Polynomen, was damit auch für f = g · h gilt. •

\underline{\underline{(14.16) SATZ:}} K sei ein Körper, f ∈ K[T] ein irreduzibles Polynom vom Grade n und

L := K[T]/(f) .

Dann gilt:

a) L ist ein Körper.

b) L = { [r] | r ∈ K[T] , r = 0 oder grad(r) < n } .

\underline{Bew:} a) \underline{Bew:} L ist ein kommutativer Ring. Es ist K[T]f = (f) ≠ K[T] , da sonst aus 1 ∈ (f) die Existenz von g ∈ K[T] mit 1 = gf folgen würde, woraus sich der Widerspruch grad(f) = 0 ergeben würde. Aus L ≠ 0 folgt dann 1_{L} ≠ 0_{L}. Bleibt zu zeigen, daß jedes Element aus L\{0_{L}} invertierbar bzgl. der Multiplikation ist. Sei also g ∈ K[T] beliebig mit [g] = g+(f) ≠ [0]. Dann folgt g ∉ (f) , also f |̸ g . Sei h ein ggT von f und g. Da f irreduzibel ist, folgt h ∈ K^{⋆}. Nach (14.12) existieren Polynome r, s mit h = rf +sg ⟹ 1 = (h^{−1}r)f +(h^{−1}s)g = r_{1}f +s_{1}g. Der Übergang zu den Nebenklassen nach (f) liefert

[1] = [r_{1}f + s_{1}g] = \underbrace{[r_{1}f]}_{=[0]} +[s_{1}g] = [s_{1}] · [g]

d.h. [s_{1}] ist Inverses zu [g]. b) Setze V := { r | r ∈ K[T] , r = 0 oder grad(r) < n } ⊆ K[T] . Sei h ein beliebiges Polynom aus K[T]. Nach (13.24) gibt es dann q, r ∈ K[T] mit h = qf + r , wobei r = 0 oder grad(r) < grad(f) = n gilt, d.h. r ∈ V . In L folgt dann

[h] = [qf + r] = \underbrace{[qf]}_{=[0]} +[r] = [r] mit r ∈ V

Damit ist gezeigt: ∀ h ∈ K[T] ∃ r ∈ V : [h] = [r]. Außerdem folgt leicht: ∀ g_{1}, g_{2} ∈ V : [g_{1}] = [g_{2}] ⟹ g_{1} = g_{2}. Damit ist dann die Behauptung bewiesen. V enthält also aus jeder Nebenklasse nach (f) genau ein Element. Man nennt V daher auch ein vollständiges Vertretersystem für L. •

\underline{\underline{(14.17) BEISPIEL:}} IR[T]/(T^{2} + 1) ist ein Körper, in dem [T]^{2} = −[1] gilt.

Das Polynom f := T^{2} + 1 ist irreduzibel über IR, so daß L := IR[T]/(f) nach (14.16a) ein Körper ist. Nach (14.16b) ist V = {0}∪{g|g ∈ IR[T], grad(g) < 2} = {a+bT |a, b ∈ IR} ein vollständiges Vertretersystem für L. Dies erinnert stark an die arithmetische Darstellung von komplexen Zahlen, und es gilt in L

[0] = [T^{2} + 1] = [T^{2}] + [1] = [T]^{2} + [1] ⟹ [T]^{2} = −[1]

In der Tat gilt IR[T]/(T^{2}+1) ≅ C , was man leicht mit Hilfe des Ringhomomorphiesatzes beweisen kann.

\underline{\underline{(14.18) SATZ:}} Sei p eine Primzahl und f ∈ ZZ_{p}[T] ein irreduzibles Polynom vom Grade n. Dann ist der Faktorring

L := ZZ_{p}[T]/(f)

ein Körper mit p^{n} Elementen.

\underline{Bew:} Nach (14.16) ist L := ZZ_{p}[T]/(f) ein Körper, und es ist

V := {0} ∪ {g | g ∈ ZZ_{p}[T], grad(g) < n}

ein vollständiges Vertretersystem für L, so daß |L| = |V | gilt. Wir müssen also die Elemente von V abzählen. Für beliebiges k ∈ IN_{0} bezeichne a(k, p) die Anzahl der Polynome aus ZZ_{p}[T], die den Grad k haben. Ein solches Polynom f ist von der Form

f = a_{0} + a_{1}T + a_{2}T^{2} + … + a_{k−1}T^{k−1} + a_{k}T^{k} (a_{k} ≠ 0)

wobei a_{l} für l ∈ {0, 1, …, k−1} ein beliebiges Element aus ZZ_{p} ist und a_{k} ∈ ZZ_{p}^{⋆}. f ist also eindeutig durch das (k + 1)–Tupel

(a_{0}, a_{1}, a_{2}, …, a_{k−1}, a_{k}) ∈ ZZ_{p}^{k} × ZZ_{p}^{⋆}

bestimmt, d.h.

a(k, p) = |ZZ_{p}^{k} × ZZ_{p}^{⋆}| = p^{k}(p − 1).

Damit gilt für die Anzahl A aller Polynome ≠ 0 vom Grade < n

A = ∑_{k=0}^{n−1} a(k, p) = ∑_{k=0}^{n−1} p^{k}(p − 1) = (p − 1) ∑_{k=0}^{n−1} p^{k} = (p − 1)\frac{p^{n} − 1}{p − 1} = p^{n} − 1

Berücksichtigt man noch das Nullpolynom, so folgt

\underline{\underline{|L|}} = |V | = A + 1 = (p^{n} − 1) + 1 = \underline{\underline{p^{n}}}.
•

\underline{\underline{(14.19) BEM:}} a) Man kann beweisen, daß es zu jedem n ∈ IN ein in ZZ_{p}[T] ein irreduzibles Polynom vom Grade n gibt .

b) Zu jeder Primzahl p und jeder natürlichen Zahl n ≥ 1 gibt es einen Körper mit p^{n} Elementen.

c) Man kann zeigen, daß je zwei endliche Körper mit gleichviel Elementen isomorph zueinander sind.

\underline{\underline{(14.20) BEISPIEL:}} K := ZZ_{2}[T]/(T^{2} + T + 1) ist ein Körper mit 2^{2} = 4 Elementen.

Das Polynom f = T^{2} +T +1 ∈ ZZ_{2}[T] ist irreduzibel, da f den Grad 2 hat und keine Nullstelle in ZZ_{2} besitzt (f(0) = 0+0+1 = 1 ≠ 0, f(1) = 1+1+1 = 1 ≠ 0). Also ist K nach (14.18) ein Körper mit 2^{2} = 4 Elementen. Ein vollständiges Vertretersystem V von K wird nach (14.16) gebildet aus 0 und allen Polynomen aus ZZ_{2}[T] vom Grade < 2, das sind 1, T, T +1. Folglich V := {0, 1, T, T +1}. Da K die Charakteristik 2 besitzt, gilt 2 (= 1 + 1) = 0 in K und x = −x ∀ x ∈ K. Außerdem ist [T^{2} + T + 1] = [0], d.h. [T^{2}] = −[T + 1] = [T + 1]. In den folgenden Verknüpfungstafeln sind jeweils nur die Elemente aus V angegeben, genaugenommen sind natürlich die Restklassen dieser Elemente nach (f) zu bilden.

Additionstafel

Beispiel: (T + 1) + T = 2T + 1 = 0 + 1 = 1

\begin{matrix}+ & 0 & 1 & T & T + 1 \\ 0 & 0 & 1 & T & T + 1 \\ 1 & 1 & 0 & T + 1 & T \\ T & T & T + 1 & 0 & 1 \\ T + 1 & T + 1 & T & 1 & 0 \end{matrix}

Multiplikationstafel

Beispiel: (T + 1)(T + 1) = T^{2} + 2T + 1 = (T^{2} + T + 1) + T = 0 + T = T

\begin{matrix}· & 0 & 1 & T & T + 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & T & T + 1 \\ T & 0 & T & T + 1 & 1 \\ T + 1 & 0 & T + 1 & 1 & T \end{matrix}